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Zusammenfassung - Vektorbegriff

Vektor als Zahlentupel - die algebraische Sicht

Im vorangegangenen Abschnitt haben wir Zahlentupel benutzt, um Bewegungen in der 2D-Ebene und im 3D-Raum zu beschreiben. Solche Zahlentupel spielen eine zentrale Rolle in der Analytischen Geometrie und werden daher mit einem neuen Begriff ausgezeichnet.

Definition:

Ein Vektor ist ein Tupel aus 2 bzw. 3 (allgemein $n$) reellen Zahlen. Die Zahlen, aus denen ein Vektor besteht, werden Koordinaten des Vektors genannt.

Beispiel: Zahlenpaare bzw. Tupel mit 2 Zahlen

$\vec{a}= \left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \end{array}\right)$, $\vec{b}= \left(\begin{array}{c} 4 \\ 0.5 \end{array}\right)$, $\vec{c}= \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}\right)$, ..., $\vec{v}= \left(\begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \end{array}\right)$

Beispiel: Zahlentripel bzw. Tupel mit 3 Zahlen

$\vec{a}= \left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 4 \end{array}\right)$, $\vec{b}= \left(\begin{array}{c} 6.1 \\ 0.1 \\ -2.5 \end{array}\right)$, $\vec{c}= \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)$, ..., $\vec{v}= \left(\begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{array}\right)$

Variablen zur Bezeichnung von Vektoren werden - wie in den Beispielen gezeigt - mit einem Vektorpfeil versehen. Das ist eine in der Schule verbreitete Konvention; außerhalb der Schule gibt es auch andere Konventionen.

Vektor als Verschiebung - eine geometrische Deutung

Vektoren kann man benutzen, um Verschiebungen (bzw. Bewegungen) in der Ebene und im Raum zu beschreiben.

Eine Verschiebung ist eine Abbildung, die jedem Punkt der 2D-Ebene (bzw. des 3D-Raums) einen Bildpunkt zuordnet. Die Zuordnung wird dabei durch einen Verschiebungspfeil festgelegt.

Verschiebung eines Dreiecks

Wenn ein Koordinatensystem gegeben ist, dann kann man einen Verschiebungspfeil mit einem Zahlentupel eindeutig beschreiben.

Vektor als Verschiebung - 2D-Fall

Zum Herunterladen: vektoren2D4.ggb

Betrachte das Beispiel in der Animation.

Der Vektor $\left(\begin{array}{c} 6 \\ 3 \end{array}\right)$ bewirkt folgende Verschiebung:

  • $6$ in $x_1$-Richtung (bzw. $x$-Richtung)
  • $3$ in $x_2$-Richtung (bzw. $y$-Richtung)

Der Vektor $\left(\begin{array}{c} 6 \\ 3 \end{array}\right)$ führt also z.B. zu den folgenden Abbildungen:

  • $A(-4|2) \rightarrow A'(2|1)$
  • $B(-2|-3) \rightarrow B'(4|0)$
  • $C(-3|1) \rightarrow C'(3|4)$

Vektor als Verschiebung - 3D-Fall

Zum Herunterladen: vektoren3D.ggb

Betrachte das Beispiel in der Animation.

Der Vektor $\left(\begin{array}{c} -2 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right)$ bewirkt folgende Verschiebung:

  • $-2$ in $x_1$-Richtung
  • $3$ in $x_2$-Richtung
  • $1$ in $x_3$-Richtung

Der Vektor $\left(\begin{array}{c} -2 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right)$ führt also z.B. zu den folgenden Abbildungen:

  • $A(3|-1|2) \rightarrow A'(1|2|3)$
  • $B(2|-1|1) \rightarrow B'(0|2|2)$

Vektoren werden üblicherweise in einer Grafik mit Vektorpfeilen dargestellt. Ein Vektor kann - wie im Beispiel oben - durch mehrere (sogar unendlich viele) Pfeile dargestellt werden.

Die Pfeildarstellung spiegelt sich auch in der folgenden Schreibweise wider:

$\overrightarrow{ AA' } = \left(\begin{array}{c} -2 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right)$ und $\overrightarrow{ BB' } = \left(\begin{array}{c} -2 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right)$

Bestimmung von Vektoren

Wenn die Koordinaten von Anfangs- und Endpunkt eines Vektorpfeils gegeben sind, dann lässt sich aus diesen Koordinaten direkt der zugehörige Vektor bestimmen.

Satz:

Aus $A(a_1 | a_2 | a_3 )$ und $B(b_1 | b_2 | b_3 )$ erhält man $\overrightarrow{ AB } = \left(\begin{array}{c} b_1 - a_1 \\ b_2 - a_2 \\ b_3 - a_3 \end{array}\right)$

Beispiel:

Aus $A(7 | 0 | -1 )$ und $B(5 | 3 | -2 )$ erhält man $\overrightarrow{ AB } = \left(\begin{array}{c} 5-7 \\ 3-0 \\ -2-(-1) \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -2 \\ 3 \\ -1 \end{array}\right)$

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