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Übungen - Betrag eines Vektors

Aufgabe 1 - Betragsberechnungen

In dieser Aufgabe geht es darum, die Formel zur Betragsberechnung bei Vektoren noch einmal genauer zu betrachten.

In der Animation ist der Vektor $ \vec{v} =\overrightarrow{ PQ }$ vorgegeben.

(a) Erkläre anhand der Animation, was man unter dem Betrag eines Vektors versteht und wie man ihn berechnet. Erkläre auch, welche Rolle der Satz des Pythagoras bei der Berechnung spielt.

(b) Ändere in der Animation die Koordinaten von $Q$ so ab, dass $\vec{ v } = \left(\begin{array}{c} -3 \\ 4 \end{array}\right)$. Warum erhält man bei der Betragsberechnung dasselbe Ergebnis wie in Teilaufgabe (a)? Erkläre kurz.

(c) Es gibt weitere Positionen von $Q$ (bei gleicher Position von $P$), so dass $| \vec{ v } | = 5$. Bestimme mindestens 3 weitere Positionen. Dokumentiere alle Betragsberechnungen.

(d) Betrachte die verschiedenen möglichen Positionen von $Q$. Welche Form ergibt sich? Am besten trägst du dafür $P$ und die einzelnen in Teil (c) bestimmten Punkte in ein Koordinatensystem in GeoGebra ein. Überrascht dich das Ergebnis? Erkläre deinem Nachbarn, warum das Sinn ergibt.

Aufgabe 2 - Abstände im Würfel

In dieser Aufgabe geht es darum, das räumliche Vorstellungsvermögen zu trainieren und Abstandsberechnungen mit Hilfe von Vektoren durchzuführen.

Gegeben ist ein Würfel mit der Kantenlänge 4, der wie folgt im Koordinatensystem liegt. Wir betrachten die Eckpunkte und die Seitenmitten der Würfelkanten. In der Aufgabe geht es darum, Abstände des Punktes $J$ zu den anderen gegebenen Punkten des Würfels zu bestimmen.

Quelle: wuerfel.ggb

(a) Den Abstand von $J$ zu $B$ kannst du direkt aus den Koordinaten der Punkte erschließen. Berechne diesen Abstand zusätzlich mit Hilfe des Betrags des Vektors $\overrightarrow{ JB }$. Kontrolliere mit dieser Berechnung, ob die Formel für den Betrag eines Vektors das erwartete Ergebnis liefert.

(b) Berechne den Abstand von $J$ zu den folgenden weiteren Punkten auf der Würfeloberfläche: $N$, $F$, $Q$ mit Hilfe geeigneter Vektoren. Gibt es vorgegebene Punkte, die den gleichen Abstand zu $J$ haben? Liste sie alle auf.

(c) Gibt es weitere, noch nicht ermittelte Abstände zu den vorgegebenen Punkten? Berechne sie alle und ergänze die Liste in (b).

Mit der folgenden Animation kannst du deine Ergebnisse kontrollieren. Bewege hierzu die Spitze des Vektorpfeils mit den Pfeiltasten entlang der Würfelkanten an die entsprechenden Stellen.

Quelle: wuerfel2.ggb

Aufgabe 3 - Wege auf einer Quaderoberfläche

In dieser Aufgabe geht es darum, das räumliche Vorstellungsvermögen zu trainieren und Abstandsberechnungen mit Hilfe von Vektoren durchzuführen.

Gegeben ist ein Quader mit der Länge 6, der Breite 4 und der Höhe 3. In der Animation ist bereits der Weg $B-E-D-B$ auf der Quaderoberfläche eingetragen.

Quelle: quader.ggb

(a) Bestimme die Länge dieses Weges mit Hilfe geeigneter Vektoren (bzw. deren Beträgen).

(b) Der eingetragene Weg ist ein Rundweg von $B$ zu $B$ über verschiedene Quaderseiten (also nicht durch das „Innere“ des Quaders), der aus genau drei Teilstrecken besteht, deren Endpunkte alle Eckpunkte des Quaders sind. Gibt es weitere solche Rundwege von $B$ zu $B$? Wenn ja, wie viele? Sind die dann alle gleich lang? Kläre diese Fragen mit geeigneten Berechnungen und geometrischen Überlegungen.

Überlege dir, zu welchen Punkten du von $B$ aus gehen kannst. Für jede dieser Möglichkeiten gibt es dann wieder mehrere Möglichkeiten. Wie viele? Und gibt es dann nach zwei Strecken wieder mehrere Möglichkeiten? Zählst du ggf. Wege doppelt?

Es gibt von $B$ aus genau drei Möglichkeiten für den ersten Wegabschnitt: zu $E$, zu $D$ und zu $G$. Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn man zu $E$ gegangen ist? Achtung: Wenn du das so weiterführst, wirst du jeden Weg doppelt zählen: $B-E-D-B$ und $B-D-E-B$. Du musst also das Ergebnis, das du so ausrechnest, durch $2$ teilen.

Aufgabe 4 - Abstandsprobleme bei einer Dachkonstruktion

Betrachte ein Walmdach mit folgenden Daten: Länge: 12; Breite: 8; Höhe: 6; Firstlänge: 6. Das Walmdach soll wie in der Animation gezeigt im 3D-Koordinatensystem liegen.

Quelle: walmdach.ggb

(a) Bestimme zunächst die Koordinaten der Eckpunkte $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ und $F$. Zur Kontrolle: $E$ hat die Koordinaten $E(3|0|6)$.

(b) Zeige, dass die Seitenkanten $AE$, $DE$, $BF$, $CF$ vom Dachboden zur Dachspitze alle gleich lang sind. Benutze hierzu die Formel zur Berechnung des Betrags eines Vektors.

(c) Die Balken $KE$, $GE$, $JI$, $HF$ nennt man Sparren. Der Architekt behauptet, dass alle Sparren gleich lang sind. Untersuche, ob diese Behauptung stimmt.

Aufgabe 5 - Abstandsprobleme bei einem Pyramidenzelt

Ein Zelt hat die Form einer quadratischen Pyramide mit 6 m Breite und 4 m Höhe. Den Eingang bildet ein Trapez $EFGH$. Die Punkte $E$ und $F$ teilen dabei die Kante $AB$ in 3 gleich lange Teile. $G$ bzw. $H$ sind die Mitten der Strecken $FS$ bzw. $ES$.

Quelle: zelt.ggb

(a)Bestimme aus den Angaben zum Zelt die Koordinaten der Punkte $A$, $B$, $C$, $D$ und $S$. Der Punkt $D$ soll dabei im Ursprung des Koordinatensystems liegen.

(b) Zeige, dass die Seitenkanten zur Spitze der Pyramide alle gleich lang sind. Benutze hierzu die Formel zur Berechnung des Betrags eines Vektors.

(c) Bestimme die Koordinaten der Punkte $E$ und $F$ (die kann man direkt erschließen). Bestimme auch die Koordinaten von $G$ und $H$ (benutze das in den vorangegangenen Abschnitten gelernte Verfahren). Zur Kontrolle: $H$ hat die Koordinaten $H(4.5|2.5|2)$.

(d) Der Hersteller des Zeltes behauptet, dass die Seite $GH$ halb so lang ist wie die Seite $EF$. Untersuche, ob diese Behauptung stimmt.

(e) Für den Bedarf an Zeltstoff muss man den Flächeninhalt des Dreiecks $ABS$ und des Trapezes $EFGH$ bestimmen. Löse das Problem mit Hilfe geeigneter Überlegungen und Berechnungen.

Hilfe: In einer Formelsammlung findet man folgende Formeln zur Berechnung von Flächeninhalten: $A_D = 1/2 \cdot g \cdot h$ und $A_T = 1/2 \cdot (a+c) \cdot h$. Verdeutliche die Bestandteile $g$ und $h$ bzw. $a$, $c$ und $h$ der jeweiligen Formel anhand einer Skizze. Benutze die Formeln zur Bestimmung der gesuchten Flächeninhalte.

Aufgabe 6 - Überprüfung von Abstandseigenschaften

Das weißt du bereits: Mit dem Betrag eines Vektors kann man den Abstand von zwei Punkten bestimmen. Hier geht es jetzt darum, diesen Sachverhalt zu nutzen, um allgemeine Abstandseigenschaften zu überprüfen.

(a) Begründe mit Abstandsargumenten, dass die folgenden Zusammenhänge plausibel sind.

Für alle Punkte $A$ gilt: $ \left| \overrightarrow{ AA } \right| = 0$.
Für alle Punkte $A$ und $B$ gilt: $ \left| \overrightarrow{ AB } \right| = \left| \overrightarrow{ BA } \right|$.
Für alle Punkte $A$, $B$ und $C$ gilt: $ \left| \overrightarrow{ AB } \right| + \left| \overrightarrow{ BC } \right| \geq \left| \overrightarrow{ AC } \right|$.

(b) Überprüfe die aufgelisteten Eigenschaften exemplarisch mit jeweils selbst gewählten Punkten.

(c) Für welche Konstellationen der Punkte $A$, $B$ und $C$ gilt: $ \left| \overrightarrow{ AB } \right| + \left| \overrightarrow{ BC } \right| = \left| \overrightarrow{ AC } \right|$? Überprüfe mit selbst gewählten Punkten.