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Übungen – Betrag eines Vektors

Die Betragsformel

In der folgenden Aufgabe soll anhand des 3D-Falls die Formel zur Betragsrechnung genauer durchdacht werden. Dabei wird die Herleitung teilweise rekonstruiert und es werden verschiedene Vektoren mit demselben Betrag untersucht. Daraus folgen im letzten Aufgabenteil Erkenntnisse zu allen Punkten mit einem vorgegebenen Abstand zu einem gegebenen Punkt. Es bietet sich an, diese Überlegungen dann auch auf den 3D-Fall zu übertragen.

Aufgabe 1 – Betragsberechnungen ★★

Im Applet unter der Aufgabe ist der Vektor $\vec{v} = \vec{P Q}$ vorgegeben.

(a) Erkläre anhand des Applets, was man unter dem Betrag eines Vektors versteht und wie man ihn berechnet. Erkläre auch, welche Rolle der Satz des Pythagoras bei der Berechnung spielt.

(b) Ändere im Applet die Koordinaten von $Q$ so ab, dass $\vec{v} = (\begin{matrix} - 3 \\ 4 \end{matrix})$ . Warum erhält man bei der Betragsberechnung dasselbe Ergebnis wie in Teilaufgabe (a)? Erkläre kurz.

(c) Es gibt weitere Positionen von $Q$ (bei gleicher Position von $P$ ), so dass $| \vec{v} | = 5$ . Bestimme mindestens 3 weitere Positionen. Dokumentiere alle Betragsberechnungen.

(d) Betrachte die verschiedenen möglichen Positionen von $Q$ . Welche Form ergibt sich? Am besten trägst du dafür $P$ und die einzelnen in Teil (c) bestimmten Punkte in ein Koordinatensystem in GeoGebra ein. Überrascht dich das Ergebnis? Erkläre deinem Nachbarn, warum das Sinn ergibt.

Zum Herunterladen: abstand1.ggb

Abstände im dreidimensionalen Raum

In den folgenden Aufgaben wird das räumliche Vorstellungsvermögen trainiert und es werden Abstandsberechnungen mithilfe von Vektoren durchgeführt. In Aufgabe 3 werden außerdem einfache kombinatorische Überlegungen durchgeführt.

Aufgabe 2 – Abstände im Würfel ★

Gegeben ist ein Würfel mit der Kantenlänge 4, der wie folgt in einem 3D-Koordinatensystem. Wir betrachten die Eckpunkte und die Seitenmitten der Würfelkanten. In der Aufgabe geht es darum, Abstände des Punktes $J$ zu den anderen gegebenen Punkten des Würfels zu bestimmen.

Zum Herunterladen: wuerfel.ggb

(a) Den Abstand von $J$ zu $B$ kannst du direkt aus den Koordinaten der Punkte erschließen. Berechne diesen Abstand zusätzlich mit Hilfe des Betrags des Vektors $\vec{J B}$ . Kontrolliere mit dieser Berechnung, ob die Formel für den Betrag eines Vektors das erwartete Ergebnis liefert.

(b) Berechne den Abstand von $J$ zu den folgenden weiteren Punkten auf der Würfeloberfläche: $N$ , $F$ , $Q$ mit Hilfe geeigneter Vektoren. Gibt es vorgegebene Punkte, die den gleichen Abstand zu $J$ haben? Liste sie alle auf.

(c) Gibt es weitere, noch nicht ermittelte Abstände zu den vorgegebenen Punkten? Berechne sie alle und ergänze die Liste in (b).

(d) Mit dem folgenden Applet kannst du deine Ergebnisse kontrollieren. Bewege hierzu die Spitze des Vektorpfeils an die entsprechenden Stellen.

Zum Herunterladen: wuerfel2.ggb

Aufgabe 3 – Wege auf einer Quaderoberfläche ★★

Gegeben ist ein Quader mit der Länge 6, der Breite 4 und der Höhe 3. Im Applet unter der Aufgabe ist bereits der Weg $B - E - D - B$ auf der Quaderoberfläche eingetragen.

(a) Bestimme die Länge dieses Weges mit Hilfe geeigneter Vektoren (bzw. deren Beträgen).

(b) Der eingetragene Weg ist ein Rundweg von $B$ zu $B$ über verschiedene Quaderseiten (also nicht durch das „Innere“ des Quaders), der aus genau drei Teilstrecken besteht, deren Endpunkte alle Eckpunkte des Quaders sind. Gibt es weitere solche Rundwege von $B$ zu $B$ ? Wenn ja, wie viele? Sind die dann alle gleich lang? Kläre diese Fragen mit geeigneten Berechnungen und geometrischen Überlegungen.

💡 Tipp für die Anzahl der Wege

Überlege dir, zu welchen Punkten du von $B$ aus gehen kannst. Für jede dieser Möglichkeiten gibt es dann wieder mehrere Möglichkeiten. Wie viele? Und gibt es dann nach zwei Strecken wieder mehrere Möglichkeiten? Zählst du ggf. Wege doppelt?

Noch ein Tipp

Es gibt von $B$ aus genau drei Möglichkeiten für den ersten Wegabschnitt: zu $E$ , zu $D$ und zu $G$ . Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn man zu $E$ gegangen ist? Achtung: Wenn du das so weiterführst, wirst du jeden Weg doppelt zählen: $B - E - D - B$ und $B - D - E - B$ . Du musst also das Ergebnis, das du so ausrechnest, durch $2$ teilen.

Zum Herunterladen: quader.ggb

Aufgabe 4 – Abstandsprobleme bei einer Dachkonstruktion ★★

Betrachte ein Walmdach mit folgenden Daten: Länge: 12; Breite: 8; Höhe: 6; Firstlänge: 6. Das Walmdach soll wie im Applet unter der Aufgabe gezeigt im 3D-Koordinatensystem liegen.

(a) Bestimme zunächst die Koordinaten der Eckpunkte $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ und $F$ . Zur Kontrolle: $E$ hat die Koordinaten $E (3 | 0 | 6)$ .

(b) Zeige, dass die Seitenkanten $A E$ , $D E$ , $B F$ , $C F$ vom Dachboden zur Dachspitze alle gleich lang sind. Benutze hierzu die Formel zur Berechnung des Betrags eines Vektors.

(c) Die Balken $K E$ , $G E$ , $J I$ , $H F$ nennt man Sparren. Der Architekt behauptet, dass alle Sparren gleich lang sind. Untersuche, ob diese Behauptung stimmt.

Zum Herunterladen: walmdach.ggb