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Erkundung - Geocaching

Schatzsuche

Geocaching ist eine moderne Form der Schatzsuche. Ein Geocache (das ist ein Behälter mit einem kleinen Schatz) wird von einem Anbieter an einem interessanten Ort (z.B. in einem Wald unter einem markanten Stein) abgelegt. Die geografischen Koordinaten dieses Ortes werden dann von dem Anbieter im Internet veröffentlicht. Jeder Nutzer kann dann mit den Koordinateninformationen auf die Suche nach dem Schatz gehen. Damit die Schatzsuche herausfordernder wird, werden die Koordinateninformationen oft in Form eines Rätsels dargeboten.

Wir spielen Teile dieser Schatzsuche in vereinfachter Form jetzt hier durch.

Das Versteck

Der Schatz befindet sich genau in der Mitte zwischen der Tropfsteinhöhle und dem Humberg.

Karte mit Tropfsteinhöhle und Humberg[1]

Aufgabe 1

Markiere grob die Lage des Schatzes in der gezeigten Karte.

Das Versteck mit einem geometrischen Verfahren ermitteln

Wenn man die Position auf der Karte möglichst genau bestimmen will, dann kann man das mit einen Zirkel und einem Lineal so machen:

Mittelpunktsbestimmung - geometrisch[2]

Aufgabe 2

Beschreibe die Vorgehensweise. Warum kann man dieses Vorgehen nicht so einfach auf eine Schatzsuche in die Realität (z.B. mit langen Seilen) übertragen? Erläutere die Schwierigkeiten.

Das Versteck mit Hilfe von Koordinaten ermitteln

In der Praxis benutzt man beim Geocaching GPS-Koordinaten zur Beschreibung der Lage des Schatzes. Wir gehen hier ebenfalls dieses Weg, vereinfachen die Beschreibung aber, indem wir ein in der Mathematik gängiges Koordinatensystem nutzen.

Quelle: mittelpunkt2.ggb

Vielleicht wunderst du dich etwas über die Beschriftung der beiden Punkte. Es gibt verschiedene Arten, wie man einen Punkt in der Mathematik aufschreibt – man nennt das verschiedene Notationen. Im Schulbuch verwenden wir normalerweise diese Darstellung: $A(-5|4)$, also ohne ein „$=$“ zwischen der Bezeichnung des Punktes und seinen Koordinaten und mit einem Trennstrich zwischen der $x$- und der $y$-Koordinate. In der Animation kommt aber GeoGebra zum Einsatz und dort verwendet man eine andere Notation.

Aufgabe 3

(a) Die Koordinaten der beiden Ausgangspunkte sind bekannt: Die Höhle liegt bei $A(-5|4)$ und der Turm bei $B(9|1)$. Bestimme die Koordinaten des Mittelpunkts $M$ durch Ablesen.

(b) Wie hätte man die Koordinaten des Mittelpunkts $M$ auch direkt aus den Koordinaten der beiden Ausgangspunkte $A(-5|4)$ und $B(9|1)$ erschließen können? Erläutere kurz.

(c) Die kannst die Lage der beiden Ausgangspunkte $A$ und $B$ variieren, indem du die Punkte im Koordinatensystem bewegst. Die Animation ist so eingestellt, dass sich immer ganzzahlige Koordinaten ergeben. Entwickle ein Verfahren, mit dem man die Koordinaten von $M$ direkt aus den Koordinaten von $A$ und $B$ berechnen kann. Überprüfe das Verfahren mit verschiedenen Beispielen. Beschreibe das Verfahren möglichst präzise in Worten.

(d) Das in (c) entwickelte Verfahren lässt sich auch mit Formeln beschreiben. Ergänze hierzu den folgenden Satz:

Wenn $A$ die Koordinaten $A(a_1|a_2)$ und $B$ die Koordinaten $B(b_1|b_2)$ hat, dann kann man die Koordinaten von $M(m_1|m_2)$ so berechnen: ...

(e) Das hier entwickelte Verfahren lässt sich auch in der Praxis anwenden. Erkläre, wie man mit GPS-Koordinaten vorgeht.

Ausblick

Die Welt, in der wir leben, ist dreidimensional. Das haben wir bisher noch nicht berücksichtigt. In den weiteren Kapiteln werden wir das bearbeitete Problem nochmal aufgreifen, dann aber in 3D. Hierzu müssen wir erst einmal 3D-Koordinatensysteme einführen.

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