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optionale Vertiefung – Teilungsprobleme

🎓 Didaktischer Hinweis

Die folgenden drei Aufgaben sind in ihrem Schwierigkeiten gestuft (★, ★★, ★★★) und eignen sich zur arbeitsteiligen Differenzierung:

In Aufgabe 1 wird die Berechnung des Mittelpunkts einer Strecke benutzt, um das ähnliche Problem der Vierteilung zu lösen.
In Aufgabe 2 wird die Halbierung verallgemeinert und das etwas schwierigere Problem der Dreiteilung gelöst.
In Aufgabe 3 wird der Grundgedanke der Analytischen Geometrie auf ein anderes geometrisches Problem übertragen.

Aufgabe 1 – Ein Strecke in vier Teile zerlegen ★

Problem

Gegeben ist eine Strecke mit den Endpunkten $A (- 3 | 4)$ und $B (5 | 0)$ .

Gesucht sind die Teilungspunkte $T_{1}$ , $T_{2}$ und $T_{3}$ , die die Strecke $\overset{―}{A B}$ in vier gleich lange Teile zerlegen.

(a) Benutze mehrfach die Mittelpunktsberechnung, um die Koordinaten der drei gesuchten Teilungspunkte zu bestimmen. Überprüfe die Ergebnisse mit dem Applet unter der Aufgabe.

(b) Formuliere eine Berechnungsvorschrift für $T_{1}$ , $T_{2}$ und $T_{3}$ in Worten und als Formel.

(c) Ziehe nun die beiden Punkte A und B an andere Stellen und bestimme dann die neuen Teilungspunkte $T_{1}$ , $T_{2}$ und $T_{3}$ mit deiner Berechnungsvorschrift. Überprüfe mithilfe des Applets, ob deine Ergebnisse stimmen können.

Zum Herunterladen: teilung4.ggb

Aufgabe 2 – Ein Strecke in drei Teile zerlegen ★★

Problem

Gegeben ist eine Strecke mit den Endpunkten $A (- 4 | 1)$ und $B (5 | 5)$ .

Gesucht sind die Teilungspunkte $T_{1}$ und $T_{2}$ , die die Strecke $\overset{―}{A B}$ in 3 gleich lange Teile zerlegen.

(a) Entwickle ein Verfahren, wie man aus den Koordinaten von $A$ und $B$ die Koordinaten der Teilungspunkte bestimmen kann. Benutze gegebenenfalls die Hilfe.

(b) Formuliere eine Berechnungsvorschrift für $T_{1}$ und $T_{2}$ als Formel.

(c) Ziehe nun die beiden Punkte A und B an andere Stellen und bestimme dann die neuen Teilungspunkte $T_{1}$ und $T_{2}$ mit deiner Formel. Überprüfe mithilfe des Applets, ob deine Ergebnisse stimmen können.

Zum Herunterladen: teilung3.ggb

Ein weiteres geometrisches Problem

Aufgabe 3 – Rechtwinklige Dreiecke ★★★

Problem

Gegeben sind drei Punkte.

Frage: Bilden sie ein rechtwinkliges Dreieck?

(a) Beschreibe, wie man dieses Problem geometrisch lösen könnte – aber ohne Geodreieck, sondern nur mit Zirkel und Lineal.

💡 Tipp

Nutze den Satz des Thales.

(b) Beschreibe, wie man dieses Problem rechnerisch lösen könnte.

💡 Tipp

Nutze den Satz des Pythagoras (bzw. dessen Umkehrung).

(c) Zeichne drei Punkte, die ungefähr ein rechtwinkliges Dreieck bilden, auf ein kariertes Blatt. Nutze beide Verfahren, um zu überprüfen, ob das gebildete Dreieck rechtwinklig ist.

(d) Vergleiche die beiden Lösungswege. Welche Vorteile bietet der geometrische Ansatz, welche der rechnerische?

optionale Vertiefung – Teilungsprobleme

Aufgabe 1 – Ein Strecke in vier Teile zerlegen ★

Problem

Aufgabe 2 – Ein Strecke in drei Teile zerlegen ★★

Problem

Ein weiteres geometrisches Problem

Aufgabe 3 – Rechtwinklige Dreiecke ★★★

Problem

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