o-mathe | Vektoren verlängern und verkürzen

Strukturierung

Aufgabe 1

Du hast in der Erkundung schon bemerkt, dass du durch Vervielfachen der Komponenten einen Vektorpfeil verlängern kannst. Dies ist eine eigene Rechenoperation:

Die Vervielfachung eines Vektorpfeils geschieht dadurch, dass jede Komponente entsprechend vervielfacht wird.

Die Vervielfachung eines Vektors mit einer Zahl (Skalar) heißt skalare Multiplikation. Dabei wird jede Komponente des Vektors mit dieser Zahl vervielfacht. Für die Zahl $t$ und den Vektor $\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})$ bedeutet dies: $t \cdot \vec{a} = t \cdot (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} t \cdot a_{1} \\ t \cdot a_{2} \\ t \cdot a_{3} \end{matrix}) .$

(a) Erkunde zunächst das folgende Applet. Du kannst dabei den Schieberegler t variieren und die beiden violetten Punkte verschieben, um den Vektor $\vec{a}$ zu verändern:

Zum Herunterladen: multiplikation.ggb

(b) Variiere den Faktor $t$ . Dabei ändert sich auch der vervielfachte Vektor $v$ und je nach $t$ entstehen grundlegend andere Situationen von $\vec{v}$ . Fertige eine Tabelle wie die untere an und notiere dabei, die Grundsituationen und die dazu passenden Werte von t:

Werte von $t$	Beschreibung von $\vec{v}$ (Grundsituationen)
...	...
...	...
...	...

Aufgabe 2

Die Addition der Vielfachen von $n$ Vektoren nennt man Linearkombination. Eine Linearkombination hat diese allgemeine Form. $t_{1} \cdot \vec{a_{1}} + t_{2} \cdot \vec{a_{2}} + t_{3} \cdot \vec{a_{3}} + t_{4} \cdot \vec{a_{4}} + \dots + t_{n} \cdot \vec{a_{n}}$ Hier vier Beispiele:

$3 \cdot (\begin{matrix} 2 \\ - 4 \end{matrix}) + 9 \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix})$
$2 \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ 3 \end{matrix}) - 4 \cdot (\begin{matrix} 3.4 \\ \frac{1}{2} \\ - 180 \end{matrix})$
$(\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 0 \end{matrix})$
$(\begin{matrix} - 3 \\ 8 \\ 9 \end{matrix})$

(a) Erkläre, warum die vier obigen Beispiele zur Definition passen, also Linearkombinationen sind.

(b) Den Wert der Linearkombination $2 \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 4 \end{matrix}) + 3 \cdot (\begin{matrix} 3 \\ - 2 \end{matrix})$ sollst du auf zwei Arten ermitteln:

Variante 1: Fasse den Term rechnerisch zusammen.
Variante 2: Zeichne die Linearkombination in dein Heft, indem du die fünf passenden Pfeile so oft wie angegeben aneinander setzt. Lies dann die Einträge des Summenvektors ab.

Kontrolliere, dass die beiden so ermittelten Ergebnisse übereinstimmen.

Aufgabe 3

Trage dein bislang erworbenes Wissen in den Wissensspeicher ein. Lasse die letzte Box (Parallelität) erst einmal leer.

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