o-mathe | Vektoren zusammensetzen und verbinden

Zusammenfassung

Die Addition und Subtraktion eines Vektors kann man graphisch mit Pfeilen und rechnerisch mit n-Tupeln deuten:

Addition zweier Vektoren

Wenn man sagt, dass man zwei Vektoren $\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})$ und $\vec{b} = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix})$ addiert, meint man damit, dass man deren einzelne Komponenten addiert: $\vec{a} + \vec{b} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) + (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{1} + b_{1} \\ a_{2} + b_{2} \\ a_{3} + b_{3} \end{matrix}) .$

Graphisch bedeutet die Addition zweier Vektoren $\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})$ und $\vec{b} = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix})$ , dass deren Pfeile zu einem Gesamtpfeil (resultierender Vektor, Summenvektor) zusammengefügt werden, der den direkten Weg angibt:

Die beiden obigen Erklärungen gelten analog auch für zweidimensionale Vektoren

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \end{matrix})

und

\vec{b} = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \end{matrix})

. Hierauf bezieht sich das folgende Beispiel:

Du kannst an den violetten Punkten die Vektoren anpassen:

Dabei stellst du fest, dass die beiden roten Vektoren identisch sind.

Zum Herunterladen: addition.ggb

Sonderfall Nullvektor

Die Addition mit dem Nullvektor $\vec{0} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$ bewirkt nichts: $\vec{a} + \vec{0} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{1} + 0 \\ a_{2} + 0 \\ a_{3} + 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) .$

Gegenvektor

Zum Vektor $\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})$ gehört der Gegenvektor $- \vec{a} = (\begin{matrix} - a_{1} \\ - a_{2} \\ - a_{3} \end{matrix})$ . Die Vektorpfeile von $\vec{a}$ und $- \vec{a}$ sind gleich lang und verlaufen in genau entgegengesetzte Richtungen. Addiert man die beiden Vektoren, erhält man den Nullvektor.

Subtraktion zweier Vektoren

Wenn man sagt, dass man zwei Vektoren $\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})$ und $\vec{b} = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix})$ subtrahiert, meint man damit, dass man deren einzelne Komponenten subtrahiert: $\vec{a} - \vec{b} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) - (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{1} - b_{1} \\ a_{2} - b_{2} \\ a_{3} - b_{3} \end{matrix}) .$

Graphisch bedeutet die Subtraktion zweier Vektoren $\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})$ und $\vec{b} = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix})$ , dass der Verbindungsvektor von $\vec{b}$ nach $\vec{a}$ gebildet wird: