Einstieg

Das Ziel klären, das benötigte Wissen reaktivieren

Ziel ist es in diesem Kapitel, eine Regel zum Ableiten von e-Funktionen mit Parametern zu entwickeln.

Wir werden dabei folgende Zusammenhänge verwenden.

e-Funktionen mit Parametern sind Exponentialfunktionen:

Jede e-Funktion vom Typ $g(x)=e^{k\cdot x}$ ist eine Exponentialfunktion vom Typ $f(x)=b^x$. Es gilt:

$g(x)=e^{k\cdot x}={\left(e^k\right)}^x=b^x$ mit $b=e^k$.

Die Ableitungen von Exponentialfunktionen sind wieder Exponentialfunktionen:

Wenn man eine Exponentialfunktion $f$ mit $f(x)=b^x$ ableitet, erhält man eine Exponentialfunktion mit derselben Basis:

$f^{\prime }(x)=c\cdot b^x$, wobei $c$ eine reelle Zahl ist mit $c=f^{\prime }(0)$ (d.h., die Zahl $c$ beschreibt die Steigung von Graph $f$ an der Stelle $0$).

Aufgabe 1

Erkläre, dass man aus diesen Zusammenhängen direkt folgende Schlussfolgerung ziehen kann:

Für $g(x)=e^{k\cdot x}$ gilt $g^{\prime }(x)=c\cdot e^{k\cdot x}$ mit einer reellen Zahl $c$.

Unklar ist nur noch, wie man die Zahl $c$ schnell erhält.