Zusammenfassung – Exponentielle Prozesse

Grundeigenschaft exponentieller Prozesse

Ist der Wachstumsfaktor größer als $1$, so liegt exponentielles Wachstum vor.

Liegt der Wachstumsfaktor zwischen $0$ und $1$, so liegt exponentieller Zerfall vor.

Beispiel: Exponentielles Wachstum beim Papierfalten

[1]

Beispiel: Exponentieller Zerfall von Caesium-137

[2]

Ein prozentualer Wachstumsprozess mit der prozentualen Wachstumsrate von z.B. $5\mathrm{\%}$ (pro Schrittweite) ist ein exponentieller Wachstumsprozess mit dem Wachstumsfaktor $1+0.05=1.05$ (zur Schrittweite). Allgemein gilt: Ein prozentualer Wachstumsprozess mit der prozentualen Wachstumsrate von $p\mathrm{\%}$ (pro Schrittweite) ist ein exponentieller Wachstumsprozess mit dem Wachstumsfaktor $1+\frac{p}{100}$ (zur Schrittweite).

Ein prozentualer Abnahmeprozess mit der prozentualen Abnahmerate von z.B. $5\mathrm{\%}$ (pro Schrittweite) ist ein exponentieller Zerfallsprozess mit dem Wachstumsfaktor $1-0.05=0.95$ (zur Schrittweite). Allgemein gilt: Ein prozentualer Abnahmeprozess mit der prozentualen Abnahmerate von $p\mathrm{\%}$ (pro Schrittweite) ist ein exponentieller Zerfallsprozess mit dem Wachstumsfaktor $1-\frac{p}{100}$ (zur Schrittweite).

Beschreibung exponentieller Prozesse mit Exponentialfunktionen

Betrachte als Beispiel einen exponentiellen Prozess mit folgenden Parametern:

• Der Anfangsbestand beträgt $0.5$.
• Zur Schrittweite $1$ gehört immer der Wachstumsfaktor $1.2$.

Zum Herunterladen: exponentielleprozesse1a.ggb

Das Applet zeigt, dass dieser Prozess mit der Funktionsgleichung $f(x)=0.5\cdot {1.2}^x$ beschrieben werden kann. Diese Funktion ist eine Exponentialfunktion.

Das Applet verdeutlicht die möglichen Graphen von Exponentialfunktionen.

Zum Herunterladen: exponentialfunktionen.ggb