Erarbeitung

Zur Orientierung

Hier geht es um die Klärung folgender Problemstellung.

Eine Ableitungsregel experimentell bestimmen

Wir betrachten vorerst nur den Fall $a=1$.

Aufgabe 1

Im Applet unter der Aufgabe ist die e-Funktion $g(x)=e^{0.5\cdot x}={\left(e^{0.5}\right)}^x$ voreingestellt. Bestimme experimentell $g^{\prime }(x)$. Bestimme analog die Ableitungsfunktion $g^{\prime }(x)$ für $g(x)=e^{2\cdot x}$ und $g(x)=e^{-0.5\cdot x}$. Was fällt auf?

Anleitung für das Applet

• Im Eingabefeld wird die betrachtete Funktionsgleichung eingegeben. Gib hier e-Funktionen der Gestalt $g(x)=e^{k\cdot x}$ in der Form $g(x)={\left(e^k\right)}^x$ ein.
• Im Applet werden für die drei ausgewählten Punkte (rot markiert) die Ableitungen mit Hilfe von Tangentenschnipsel angezeigt. Die Ableitungswerte werden zusätzlich mit Hilfe von Punkte (grün markiert) dargestellt.
• Die Punkte zur Darstellung der Ableitungen liegen auf einer Kontrolllinie (grün gestrichelt).
• Mit Hilfe des Schiebereglers soll man die Zahl $c$ so einstellen, dass der blau dargestellte Graph die Ableitungsfunktion beschreibt. Hierzu muss dieser Graph durch die Ableitungspunkte verlaufen bzw. mit der gestrichelten Kontrolllinie übereinstimmen.

Zum Herunterladen: ableitung_allgemeine_efunktion_1b.ggb

Aufgabe 2

Formuliere die experimentell gefundene Regel.

Aufgabe 3

Betrachte jetzt e-Funktionen mit Parametern vom Typ $g(x)=a\cdot e^{k\cdot x}$, z.B $g(x)=1.5\cdot e^{0.5\cdot x}=1.5\cdot {\left(e^{0.5}\right)}^x$. Ermittle mit Hilfe des Applets auch die Ableitungsregel für diese Funktionen.