Vertiefung – algebraisch-analytisches Vorgehen

Ableitungen mit Grenzwerten bestimmen

Die Ableitung einer Funktion an einer Stelle $x$ erhält man, indem man den Grenzwert von mittleren Änderungsraten (bzw. von Sekantensteigungen) bestimmt.

Aufgabe 1

Verdeutliche den Zusammenhang zwischen der mittleren Änderungsrate, der lokalen Änderungsrate (also der Ableitung), der Sekante und der Tangente an einer Skizze. Erkläre diese vier Begriffe.

Kontrolle

Die mittlere Änderungsrate beschreibt die durchschnittliche Veränderung einer Funktion in einem Intervall. Sie entspricht der Sekantensteigung zwischen zwei Punkten $P$ und $Q$. Wenn man das Intervall immer kleiner wählt (also die beiden Punkte $P$ und $Q$ aufeinander zu bewegt), nähert sich die mittlere Änderungsrate der lokalen Änderungsrate an. Diese entspricht der Steigung der Funktion an einer Stelle.

In der nächsten Aufgabe kannst du genau das ausprobieren: Wenn man den Punkt $Q$ auf den Punkt $P$ zu bewegt, erhält man immer bessere Näherungswerte für die Ableitung der vorgegebenen Funktion an der durch $P$ festgelegten Stelle $x$.

Aufgabe 2

Nutze das folgende Applet, um Ableitungswerte für die im Applet vorgegebene Exponentialfunktion $f(x)=2^x$ zu bestimmen. Gib jeweils den passenden $x$-Wert vor und bestimme den zugehörigen Ableitungswert.

Anleitung für das Applet

• Im Eingabefeld links oben kann man die Funktionsgleichung der zu untersuchenden Exponentialfunktion eingeben. Betrachte zunächst die voreingestellte Exponentialfunktion $f(x)=2^x$.
• Im Eingabefeld für $x$ gibt man die betrachtete Stelle vor. Diese Stelle legt den (rot eingefärbten) Punkt $P$ auf dem Funktionsgraphen fest. Ziel ist es, die Steigungen des Funktionsgraphen in diesem Punkt abzuschätzen.
• Mit dem Punkt $Q$ auf dem Funktionsgraphen wird eine Sekante durch $P$ und $Q$ festgelegt. Die Steigung dieser Sekante wird im oberen Fenster angezeigt.
• Den Punkt $Q$ kann man auf dem Funktionsgraphen bewegen. Wenn man ihn zum Punkt $P$ hinbewegt, dann liefert die zugehörige Sekantensteigung immer besserer Näherungswerte für die Steigung des Funktionsgraphen im Punkt $P$ und damit für die gesuchte Ableitung $f^{\prime }(x)$.
• Im Grenzfall $Q$ auf $P$ gibt es keine Sekante mehr. Stattdessen wird in diesem Fall die Tangente an Graph $f$ durch den Punkt $P$ angezeigt. Im oberen Fenster wird die Steigung der Tangente als Grenzwert der approximierenden Sekantensteigungen angezeigt.

Zum Herunterladen: ableitung_exponentialfunktionen_approx.ggb

$x$	$f^{\prime }(x)$ [abgeschätzte Grenzwerte]
$-1$
$0$	$0.69315$
$1$
$2$

Eine Formel für die Ableitungsfunktion einer Exponentialfunktion herleiten

Mithilfe des Applets wurde die Ableitung einer Exponentialfunktion an vorgegebenen Stellen bestimmt. Doch wie geht das ohne Applet? Und ist es nicht zu aufwändig, für jede Funktion ein Applet zu nutzen?

Wir gehen dabei exemplarisch vor und werden nur ein – charakteristisches – Beispiel einer Exponentialfunktion betrachten. Das Vorgehen ist aber auf andere Exponentialfunktionen übertragbar. Zur Einfachheit nutzen wir zuerst eine Funktion ohne Vorfaktor. Wir betrachten $f(x)=2^x$.

Aufgabe 3 – $m(x,x+h)$ umformen

In einem 1. Schritt wird die Formel für die mittlere Änderungsrate (bzw. die Sekantensteigung) $m(x,x+h)$ umgeformt. Ergänze die Umformungsschritte.

$\begin{array}{lcl}m(x,x+h)& =& {\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}}\\ & =& \dots \\ & =& \dots \\ & =& \dots \\ & =& 2^x\cdot {\displaystyle \frac{(2^h-1)}{h}}\end{array}$

Kontrolle

$\begin{array}{lcl}m(x,x+h)& =& {\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}}\\ & =& {\displaystyle \frac{2^{x+h}-2^x}{h}}\\ & =& {\displaystyle \frac{2^x\cdot 2^h-2^x}{h}}\\ & =& {\displaystyle \frac{2^x\cdot (2^h-1)}{h}}\\ & =& 2^x\cdot {\displaystyle \frac{(2^h-1)}{h}}\end{array}$

Aufgabe 4 – den Grenzprozess $h\to 0$ durchführen

In einem 2. Schritt wird der Grenzprozess $h\to 0$ durchgeführt. Betrachte zunächst den Teilterm ${\displaystyle \frac{(2^h-1)}{h}}$. Seinen Grenzwert werden wir $c$ nennen.

(a) Benutze das Applet, um den Grenzwert dieses Teilterms für $h\to 0$ abzuschätzen. Mit dem Schieberegler kannst du $h$ gegen $0$ bewegen.

Zum Herunterladen: grenzwert_c_0.ggb

(b) Betrachte jetzt den gesamten Term $2^x\cdot {\displaystyle \frac{(2^h-1)}{h}}$. Begründe:

$f^{\prime }(x)=c\cdot 2^x$ mit $c\approx 0.69$

(c) Begründe: $f^{\prime }(0)=c$. Die Konstante $c$ kann also als Tangentensteigung an der Stelle $x=0$ interpretiert werden.

Aufgabe 5 – weitere Exponentialfunktionen betrachten

(a) Betrachte jetzt die Exponentialfunktion $f(x)=3^x$, $f(x)={0.5}^x$ und $f(x)={1.025}^x$. Bestimme analog Formeln für $f^{\prime }(x)$ für diese Exponentialfunktionen.

(b) Betrachte die Exponentialfunktion $f(x)=a\cdot 2^x$ (mit einer beliebigen reellen Zahl $a$). Begründe, dass $f^{\prime }(x)=a\cdot c\cdot 2^x$ mit $c\approx 0.69$.

(c) In der Erkundung wurde die Exponentialfunktion $f(x)=1360000000\cdot {1.025}^x$ untersucht. Dabei wurde als Ableitungsfunktion $f^{\prime }(x)=a^{\prime }\cdot {1.025}^x$ gefunden, wobei $a^{\prime }\approx 33500000$. Erkläre die Zusammenhänge zwischen $a$, $a^{\prime }$ und $c$ (aus Teil (a) dieser Aufgabe).

Aufgabe 6 – die Ergebnisse verallgemeinern

Verallgemeinere die Ergebnisse und formuliere sie als Sätze.