Zusammenfassung - Modellierung mit Exponentialfunktionen

Das Problem

In der Praxis steht man oft vor folgendem Problem: Es liegen Daten über einen Wachstums- oder Zerfallsprozess vor. Unklar ist, ob der Prozess – zumindest in Teilen – nahezu exponentiell verläuft. Man sieht es den Daten meist direkt nicht an. Auch eine Veranschaulichung im Koordinatensystem hilft oft nicht weiter.

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Wir stellen hier ein Verfahren zur Erkennung und Beschreibung exponentieller Prozesse vor, das auf folgender Grundidee basiert: Die Daten werden so vorverarbeitet, dass exponentielles Verhalten im Ausgangsdatenbestand sich in einem linearen Verhalten des transformierten Datenbestands zeigt. Die hierfür benötigten mathematischen Zusammenhänge werden zunächst vorgestellt.

Eine e-Funktion logarithmieren

Das Applet verdeutlicht einen interessanten Zusammenhang. Im unteren Fenster ist eine e-Funktion $g(x)=a\cdot e^{k\cdot x}$ mit den einstellbaren Parametern $a$ und $k$ dargestellt. Im oberen Fenster ist die Funktion $h(x)=\ln (g(x))$ grafisch dargestellt. Egal wie man die Parameter $a$ und $k$ wählt, die aus der e-Funktion $g(x)$ resultierende Funktion $h(x)$ ist immer eine lineare Funktion.

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Der Nachweis basiert auf dem Logarithemgesetz $\ln (x\cdot y)=\ln (x)+\ln (y)$ und der Tatsache, dass die $\ln$-Funktion die Umkehrung zur e-Funktion ist.

$\begin{array}{lrll}h(x)& =& \ln (g(x))& \text{ nach Voraussetzung}\\ & =& \ln (a\cdot e^{k\cdot x})& \text{ nach Voraussetzung}\\ & =& \ln (a)+\ln (e^{k\cdot x})& \text{ mit dem Logarithemgesetz }\ln (x\cdot y)=\ln (x)+\ln (y)\\ & =& \ln (a)+k\cdot x& \text{ wegen }\ln (e^z)=z\\ & =& m\cdot x+b& \text{ mit b = ln(a) und m = k}\end{array}$

Man erhält somit folgenden Satz:

Eine lineare Funktion exponieren

Im folgenden Applet wird die umgekehrte Situation gezeigt. Im oberen Fenster ist eine lineare Funktion $f(x)=m\cdot x+b$ mit den einstellbaren Parametern $m$ und $b$ dargestellt. Im unteren Fenster ist die Funktion $g(x)=e^{f(x)}$ grafisch dargestellt. Die lineare Funktion $f(x)$ wird hier in eine e-Funktion vom Typ $g(x)=a\cdot e^{k\cdot x}$ transformiert.

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Der Nachweis basiert auf dem Potenzgesetz $e^{x+y}=e^x\cdot e^y$.

$\begin{array}{lrll}g(x)& =& e^{f(x)}& \text{ nach Voraussetzung}\\ & =& e^{m\cdot x+b}& \text{ nach Voraussetzung}\\ & =& e^{m\cdot x}\cdot e^b& \text{ mit dem Potenzgesetz }{e}^{x+y}=e^x\cdot e^y\\ & =& a\cdot e^{k\cdot x}& \text{ mit }a=e^b\text{ mit }k=m\end{array}$

Man erhält somit folgenden Satz:

Analyse eines Datenbestands

Wir benutzen jetzt diese Zusammenhänge, um exponentielles Wachstum in einem vorgegebenen Datenbestand festzustellen und es mit Hilfe einer e-Funktion zu erfassen.

• In der Tabelle im rechten Fenster ist in der zweiten Spalte die jeweilige Anzahl der neu gemeldeten COVID-Infizierten zu Beginn der ersten Corona-Welle eingetragen. Betrachtet wird hier der Zeitraum vom 01.03.2020 bis zum 31.03.2020. Die Anzahlen sind zusätzlich im Koordinatensystem im unteren Fenster grafisch dargestellt.
• In der dritten Spalte in der Tabelle sind die $\ln$-Werte der Anzahlen in der zweiten Spalte berechnet. Diese $\ln$-Werte sind im Koordinatensystem im oberen Fenster grafisch dargestellt.

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Exponentielles Verhalten des vorgegebenen Datenbestandes zeigt sich in einem linearen Verhalten des logarithmierten Datenbestands. Im oberen Fenster wird ein näherungsweise linearer Teilbereich mit einer Geraden durch die Punkte $A$ und $B$ angezeigt. Die Funktionsgleichung der zur Geraden gehörenden linearen Funktion lässt sich mit den Koordinaten $A(1|5)$ und $B(20|10)$ aufstellen. Man erhält :

$h(x)=\frac{5}{19}(x-1)+5=\frac{5}{19}x+\frac{90}{19}$

Hieraus bestimmt man die e-Funktion wie folgt:

$g(x)=e^{h(x)}\approx 114\cdot e^{0.26\cdot x}$

Diese Funktion beschreibt das Wachstum der COVID-Infizierten im Zeitraum 02.03.2020 bis zum 21.03.2020 recht gut.