Zusammenfassung – Ableitung von Exponentialfunktionen

Ableitung von Exponentialfunktionen – geometrisch-experimentelle Bestimmung

Die Ableitung einer Funktion an einer Stelle $x$ kann man geometrisch als Steigung des Funktionsgraphen im zugehörigen Punkt $P(x|f(x))$ deuten. Sie entspricht der Steigung der Tangente an den Funktionsgraphen durch den Punkt $P(x|f(x))$.

Zum Herunterladen: ableitung_exponentialfunktionen_exp_1.ggb Das Applet basiert auf dem Applet Ableitung mit Geradenstücken. [1]

Die Ableitung einer Exponentialfunktion an einer Stelle $x$ kann man somit experimentell abschätzen, indem man eine Tangente nach Augenmaß an den Funktionsgraphen durch den Punkt $P(x|f(x))$ konstruiert und deren Steigung $m$ bestimmt.

Im Applet ist das am Beispiel der Exponentialfunktion $f(x)=2^x$ für die $x$-Werte $x=0$, $x=1$ und $x=2$ dargestellt.

Zum Herunterladen: ableitung_exponentialfunktionen_exp_2.ggb Das Applet basiert auf dem Applet Ableitung mit Geradenstücken. [2]

Für die im Applet angezeigte Exponentialfunktion $f(x)=2^x$ ergeben sich folgende abgeschätzte Ableitungswerte:

Beobachtung: Wenn man die Schrittweite um $1$ erhöht, dann verdoppeln sich (in etwa) die Ableitungswerte.

Diese Beobachtung deutet darauf hin, dass die Ableitungsfunktion $f^{\prime }(x)$ zur Exponentialfunktion $f(x)=2^x$ ebenfalls eine Exponentialfunktion ist. Das zeigt sich auch, wenn man die abgeschätzten Ableitungswerte mit Punkten im Koordinatensystem darstellt. Diese Punkte liegen auf einem Graph (hier: grün gestrichelt), der anscheinend zu einer Exponentialfunktion gehört.

Aus der beobachteten Eigenschaft zur Schrittweite um $1$ gehört der Wachstumsfaktor $2$ und dem Startwert $f^{\prime }(0)\approx 0.69$ kann man weiterhin vermuten, dass die Ableitungsfunktion zur Exponentialfunktion $f(x)=2^x$ eine Exponentialfunktion der Gestalt $f^{\prime }(x)=c\cdot 2^x$ ist mit $c=f^{\prime }(0)\approx 0.69$. Diese Vermutung wird im nächsten Applet weiter erhärtet. Hier wird die vermutete Ableitungsfunktion $f^{\prime }(x)=0.69\cdot 2^x$ auch angezeigt.

Ableitung von Exponentialfunktionen – algebraisch-analytische Herleitung

Die Ableitung einer Funktion an einer Stelle $x$ erhält man, indem man den Grenzwert von mittleren Änderungsraten (bzw. von Sekantensteigungen) bestimmt.

Wenn man im nächsten Applet den Punkt $Q$ auf den Punkt $P$ zu bewegt, erhält man immer besserer Näherungswerte für die Ableitung der vorgegebenen Funktion an der durch $P$ festgelegten Stelle $x$.

Zum Herunterladen: ableitung_exponentialfunktionen_approx.ggb

Für die im Applet angezeigte Exponentialfunktion $f(x)=2^x$ ergeben sich so folgende abgeschätzte Ableitungswerte:

Beobachtung: Auch hier beobachtet man, dass zur Schrittweite $1$ der Wachstumsfaktor $2$ gehört. Beachte, dass die abgeschätzten Grenzwerte den oben geometrisch bestimmten Werten in etwa entsprechen.

Um exakte Ergebnisse zu erhalten muss man den Grenzwert der mittleren Änderungsraten analytisch bestimmen. Wir gehen hier exemplarisch vor und betrachten stellvertretend die Exponentialfunktion $f(x)=2^x$.

Schritt 1: $m(x,x+h)$ umformen.

$\begin{array}{lcl}m(x,x+h)& =& {\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}}\\ & =& {\displaystyle \frac{2^{x+h}-2^x}{h}}\\ & =& {\displaystyle \frac{2^x\cdot 2^h-2^x}{h}}\\ & =& {\displaystyle \frac{2^x\cdot (2^h-1)}{h}}\\ & =& 2^x\cdot {\displaystyle \frac{(2^h-1)}{h}}\end{array}$

Schritt 2: Den Grenzprozess $h\to 0$ durchführen.

Der Teilterm $2^x$ hängt nicht von $h$ ab.

Für $h\to 0$ gilt ${\displaystyle \frac{(2^h-1)}{h}\to c}$, wobei $c\approx 0.69$ eine feste reelle Zahl ist. Das kann man mit den folgenden Applet experimentell überprüfen, indem man mit dem Schieberegler $h$ gegen $0$ gehen lässt.

Zum Herunterladen: grenzwert_c.ggb

Ergebnis: $f^{\prime }(x)=c\cdot 2^x$ mit $c\approx 0.69$.

Beachte, dass $c=f^{\prime }(0)$ gilt.

Die Herleitung von $f^{\prime }(x)$ kann man analog für jede Exponentialfunktion vom Typ $f(x)=b^x$ durchführen. Man erhält dann das folgende verallgemeinerte Ergebnis:

Wie man die Zahl $c$ direkt bestimmen kann, werden wir im folgenden Kapitel erarbeiten.

Mit der Faktorregel (siehe Zusammenfassung – Ableitungsregeln) kann man dann direkt diese Regel weiter verallgemeinern.