o-mathe | e-Funktion und ln-Funktion » Zusammenfassung

Zusammenfassung – e-Funktion und ln-Funktion

Ausgangspunkt – Ableitung von Exponentialfunktionen

Im letzten Kapitel wurde folgender Zusammenhang hergeleitet:

Ableitung einer Exponentialfunktion

Gegeben ist eine Exponentialfunktion $f$ mit $f (x) = b^{x}$ (mit einer positiven reellen Zahl $b$ , die ungleich $1$ ist). Für die Ableitung $f^{'} (x)$ gilt dann:

$f^{'} (x) = c \cdot b^{x}$ , wobei $c$ eine reelle Zahl ist mit $c = lim_{h \to 0} \frac{b^{h} - 1}{h}$ .

Für die Zahl $c$ gilt $c = f^{'} (0)$ . D.h., die Zahl $c$ beschreibt die Steigung von Graph $f$ an der Stelle $0$ .

Das folgende Applet verdeutlicht diesen Zusammenhang.

Zum Herunterladen: efunktion1.ggb

Eine Funktion $f$ mit $f^{'} (x) = f (x)$

Eine Variation der Basis $b$ lässt vermuten, dass es eine Exponentialfunktion $f (x) = b^{x}$ gibt, für die $f^{'} (x) = f (x)$ gilt. Im folgenden Applet ist die Basis $b$ entsprechend eingestellt.

Zum Herunterladen: efunktion2.ggb

Den experimentell gefundenen Zusammenhang kann man auch beweisen. Das geht aber über die Darstellung hier hinaus.

Eine besondere Exponentialfunktion

Es gibt eine reelle Zahl $e$ , so dass für die Exponentialfunktion $f (x) = e^{x}$ gilt:

$f^{'} (x) = e^{x} = f (x)$

Die Zahl $e$ ist eine irrationale Zahl mit $e = 2.718281828459 . . .$ .

Wegen ihrer Bedeutung erhalten die Zahl $e$ und die hierauf basierende Exponentialfunktion eigene Namen.

Die Zahl e und die e-Funktion

Die Zahl $e = 2.718281828459 . . .$ heißt Eulersche Zahl. Sie ist eine irrationale Zahl. Benannt ist sie nach dem Mathematiker Leonhard Euler, der einer der bedeutensten Mathematiker im 18. Jahrhundert war.

Die Exponentialfunktion $f (x) = e^{x}$ mit der Basis $e$ wird meist e-Funktion und manchmal auch natürliche Exponentialfunktion genannt. Wir schreiben sie gelegentlich in der Form $e x p (x) = e^{x}$ .

Die Umkehrfunktion zur e-Funktion

Die e-Funktion $e x p$ ordnet einer reellen Zahl $x$ die Potenz $e^{x}$ zu. Für z.B. $x = 1.74$ erhält man die Zuordnung $e x p : 1.74 \to e^{1.74} \approx 5.68$ . In Anwendungen benötigt man oft auch die umgekehrte Zuordnung $e^{1.74} \approx 5.68 \to 1.74$ . Im folgenden Applet erhält man diese umgekehrte Zuordnung durch Drücken der entsprechenden Schaltfläche.

Zum Herunterladen: efunktion3a.ggb

Diese umgekehrte Zuordnung bildet die Umkehrfunktion zur e-Funktion.

Zum Herunterladen: efunktion4.ggb

Im Applet ist der Graph dieser Umkehrfunktion (gelb eingefärbt) zusätzlich zur e-Funktion dargestellt. Auch diese Funktion wird häufig benötigt und erhält daher einen eigenen Namen.

ln-Funktion

Die Umkehrfunktion zur e-Funktion $e x p : x \to e^{x}$ ist die ln-Funktion $\ln : y \to x$ , die jeder positiven reellen Zahl $y$ die Zahl $x$ zuordnet mit $e^{x} = y$ .

Die ln-Funktion ist die Logarithmusfunktion $l o g_{e}$ zur Basis $e$ . Sie wird auch natürliche Logarithmusfunktion genannt.

Beachte, dass man den Graph der ln-Funktion aus dem Graph der e-Funktion durch eine Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden erhält.

Die Tatsache, dass die e-Funktion und die ln-Funktion sich invers zueinander verhalten, spiegelt sich in folgenden Gleichungen wider.

Inverses Verhalten von e-Funktion und ln-Funktion

Für alle reellen Zahlen $x$ gilt:

$\ln (e^{x}) = x$ .

Für alle positiven reellen Zahlen $y$ gilt:

$e^{\ln (y)} = y$ .