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Erarbeitung

Zur Orientierung

Wir betrachten hier exponentielle Wachstumsprozesse, die mit einer e-Funktion vom Typ $g (t) = a \cdot e^{k \cdot t}$ beschrieben werden. Folgende Leitfrage soll hier geklärt werden:

Leitfrage

Wie kann man bei einem exponentiellen Wachstumsprozess aus einer vorgegebenen Beschreibung mit einer e-Funktion die Verdopplungszeit bestimmen?

Die Leitfrage experimentell klären

Mit dem folgenden Applet kannst du die Leitfrage experimentell klären.

Zum Herunterladen: zuordnungexperimentell.ggb

Aufgabe 1

Betrachte folgende e-Funktionen zur Beschreibung exponentieller Wachstumsprozesse. Bestimme jeweils experimentell die Verdopplungszeit $t_{D}$ .

Geg.: $g (t) = a \cdot e^{k \cdot t}$	Ges.: $t_{D}$
$g (t) = 2 \cdot e^{0.1 \cdot t}$
$g (t) = 4 \cdot e^{0.2 \cdot t}$
$g (t) = 0.5 \cdot e^{0.5 \cdot t}$

Die Leitfrage rechnerisch klären

Bearbeite die folgenden Aufgaben.

Aufgabe 2

Betrachte die Funktion $g (t) = 2 \cdot e^{0.1 \cdot t}$ zur Beschreibung eines exponentiellen Wachstumsprozesses.

(a) Erkläre: Die Verdopplungszeit $t_{D}$ erfüllt folgende Bedingung: $g (t_{D}) = 2 \cdot g (0)$ bzw. $2 \cdot e^{0.1 \cdot t_{D}} = 4$ .

(b) Löse die Gleichung $2 \cdot e^{0.1 \cdot t_{D}} = 4$ nach $t_{D}$ auf.

Aufgabe 3

Betrachte eine beliebige Funktion $g (t) = a \cdot e^{k \cdot t}$ zur Beschreibung eines exponentiellen Wachstumsprozesses.

Die Verdopplungszeit $t_{D}$ erfüllt folgende Bedingung: $g (t_{D}) = 2 \cdot g (0)$ .

Stelle analog zum Vorgehen in Aufgabe 2 eine Gleichung auf und löäse sie nach $t_{D}$ auf. Du erhältst dann eine Formel, mit der man die Verdopplungszeit $t_{D}$ aus der Wachstumskonstante $k$ berechnen kann.

Kontrolle

$t_{D} = \frac{\ln (2)}{k}$

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