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Übungen – e-Funktionen mit Parametern

Aufgabe 1

Ergänze jeweils die entsprechende Exponential- bzw. e-Funktion.

$f (x) = a \cdot b^{x}$	$g (x) = a \cdot e^{k \cdot x}$
	$g (x) = e^{0.3 x}$
$f (x) = {0.3}^{x}$
	$g (x) = 2 \cdot e^{- 2 x}$
$f (x) = - 3^{x}$
	$g (x) = 0.1 \cdot e^{0.1 x}$
$f (x) = 0.2 \cdot {0.8}^{x}$

Aufgabe 2

Bestimme jeweils die Ableitungsfunktion.

Ausgangsfunktion	Ableitungsfunktion
$g (x) = e^{0.3 x}$
$f (x) = {0.3}^{x}$
$g (x) = 2 \cdot e^{- 2 x}$
$f (x) = - 3^{x}$
$g (x) = 0.1 \cdot e^{0.1 x}$
$f (x) = 0.2 \cdot {0.8}^{x}$

Aufgabe 3

Exponentielle Prozesse beschreibt man häufig mit Hilfe einer prozentualen Wachstums- oder Abnahmerate. Im Kapitel Exponentielle Prozesse wurde gezeigt, wie man solche Prozesse mit Exponentialfunktionen beschreibt.

(a) Untersuche, wie man (zumindest bei kleinen Wachstums- bzw. Abnahmeraten) direkt zu einer Beschreibung von exponentiellen Prozessen mit Hilfe von e-Funktionen gelangt. Ergänze hierzu die Beschreibungen in der Tabelle.

prozentuale Wachstums- bzw. Abnahmerate	e-Funktion zur Beschreibung des exponentiellen Prozesses
$+ 3 %$	$g (x) = a \cdot {1.03}^{x} = a \cdot e^{\ln (1.03) \cdot x} \approx a \cdot e^{0.03 \cdot x}$
$- 1 %$	$g (x) = a \cdot {0.99}^{x} = a \cdot e^{\ln (0.99) \cdot x} \approx a \cdot e^{- 0.01 \cdot x}$
$+ 5 %$	$g (x) = \dots$
$- 4 %$	$g (x) = \dots$
$+ 0.5 %$	$g (x) = \dots$
$- 0.2 %$	$g (x) = \dots$

(b) Die Umformungen in der Tabelle nutzen folgenden Zusammenhang: $\ln (1 + x) \approx x$ für kleine $x$ -Werte. Verdeutliche das anhand von Beispielen. Gib auch eine Grenze für kleine $x$ -Werte an.

Aufgabe 4

Beschreibe die exponentiellen Prozesse mit e-Funktionen der Gestalt $g (x) = a \cdot e^{k \cdot x}$ . Du kannst dabei die Ergebnisse der entsprechenden Aufgabe auf der Seite Übungen – Exponentielle Prozesse benutzen. Kläre anschießend die gestellte Frage.

(a) Ein Geldbetrag von $1000 €$ wird jährlich mit $3 %$ verzinst. Wann überschreitet der Geldbetrag die Grenze $2000 €$ ?

(b) Eine Bakterienkultur mit anfangs $200$ Bakterien verachtfacht sich jede Stunde. Wann überschreitet die Bakterienkultur die kritische Marke von $1000000$ Bakterien?

(c) Eine Bevölkerung von $2$ Millionen verringert sich jährlich um $1.5 %$ . Wie lange dauert es, bis die Bevölkerung nur noch eine Größe von $1.8$ Millionen hat?

(d) Eine Tasse Kaffee enthält 90 mg Koffein. Koffein wird im Körper wieder abgebaut. Der Koffeingehalt im Körper halbiert sich alle 4 Stunden. Wann unterschreitet der Koffeingehalt im Körper die Grenze von 50 mg?

Aufgabe 5

Betrachte einen exponentiellen Prozess, der das Wachstum einer Population beschreibt. Man kennt für einen Startpunkt $t = 0$ die aktuelle Populationsgröße $g (0) = 800$ [Individuen] und die aktuelle Wachstumsgeschwindigkeit $g^{'} (0) = 20$ [Individuen pro Tag]. Beschreibe den exponentiellen Prozess mit einer e-Funktion $g (t) = a \cdot e^{k \cdot t}$ mit Parametern. Kläre anschließend folgende Fragen;

(a) Wie groß ist die prozentuale Wachstumsrate des exponentiellen Prozesses?

(b) Wann erreicht die Population die Grenze von $10000$ Individuen?

(c) Wann beträgt die momentane Wachstumsgeschwindigkeit $1000$ Individuen pro Tag?