Strukturierung – Beschreibung mit Exponentialfunktionen

Einstieg

Das Applet zeigt einen exponentiellen Wachstumsprozess. Bisher haben wir solche Prozesse mit einigen wenigen Parametern beschrieben. Im vorliegenden Beispiel so:

• Der Anfangsbestand beträgt $0.5$.
• Zur Schrittweite $1$ gehört immer der Wachstumsfaktor $1.2$.

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Die grafische Darstellung verdeutlicht bereits, dass man die Bestandsentwicklung mit einer Funktion beschreiben kann. Wir beschäftigen uns hier jetzt mit folgender Frage:

Erarbeitung

Wir betrachten vorerst nur exponentielle Prozesse, bei denen der Wachstumsfaktor zur Schrittweite $1$ vorgegeben ist.

Aufgabe 1

Betrachte den exponentiellen Wachstumsprozess, der im Applet vorgegeben ist.

(a) Erzeuge mit [Schritt weiter] einige Bestandswerte. Erkläre die an den Pfeilen ergänzten Beschreibungen zur Bestandsentwicklung.

(b) Ergänze im oberen Fenster im Eingabefeld die Funktionsgleichung der Funktion $f$ so, dass der Graph durch die Punkte zur Bestandsentwicklung verläuft.

Hinweis: Eine Potenz wie z.B. $2^3$ wird in der Form 2^3 eingegeben.

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Aufgabe 2

Betrachte den exponentiellen Zerfallsprozess, der im Applet vorgegeben ist.

(a) Erzeuge mit [Schritt weiter] einige Bestandswerte. Erkläre die an den Pfeilen ergänzten Beschreibungen zur Bestandsentwicklung.

(b) Ergänze im oberen Fenster im Eingabefeld die Funktionsgleichung der Funktion $f$ so, dass der Graph durch die Punkte zur Bestandsentwicklung verläuft.

Hinweis: Eine Potenz wie z.B. $2^3$ wird in der Form 2^3 eingegeben.

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Aufgabe 3

Ergänze die folgende Verallgemeinerung der betrachteten Beispiele.

Vertiefung

Wir betrachten jetzt exponentielle Prozesse, bei denen der Wachstumsfaktor zu einer beliebigen Schrittweite vorgegeben ist. Hier ein Beispiel:

• Der Anfangsbestand beträgt $0.5$.
• Zur Schrittweite $4$ gehört immer der Wachstumsfaktor $2$.

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Das Applet verrät bereits, wie man die Berechnungen mit einer Exponentialfunktion beschreiben kann. Aber, wie kommt man auf die Basis $1.189$? Bearbeite hierzu die folgende Aufgabe.

Aufgabe 4

Für die passende Exponentialfunktion zur Beschreibung des exponentiellen Prozesses benötigt man den Wachstumsfaktor $b$ zur Schrittweite $1$. Gegeben ist im vorliegenden Beispiel der Wachstumsfaktor $2$ zur Schrittweite $4$.

(a) Begründe, dass folgende Bedingung hier erfüllt sein muss: $b^4=2$.

(b) Löse die Gleichung und vergleiche mit der Angabe im Applet.

(c) Gib die Funktionsgleichung $f(x)=0.5\cdot (2^{0.25}{)}^x$ im Applet ein. Warum passt diese Funktionsgleichung hier?