Vernetzung

Zur Orientierung

Für die Ableitung einer Exponentialfunktion $f(x)=b^x$ wurde bisher folgende Regel entwickelt:

$f^{\prime }(x)=c\cdot b^x$, wobei $c$ eine reelle Zahl ist mit $c=f^{\prime }(0)$ (d.h., die Zahl $c$ beschreibt die Steigung von Graph $f$ an der Stelle $0$).

Mit dem Wissen über die Ableitung von e-Funktionen können wir jetzt weitere Aussagen über die Zahl $c$ treffen.

Eine Ableitungsregel überarbeiten

Folgende Wissensbasis kannst du verwenden:

Exponentialfunktionen kann man als e-Funktionen mit Parametern darstellen:

Jede Exponentialfunktion vom Typ $f(x)=b^x$ kann als e-Funktion vom Typ $g(x)=e^{k\cdot x}$ dargestellt werden. Es gilt:

$f(x)=b^x={\left(e^{ln(b)}\right)}^x=e^{ln(b)\cdot x}=e^{k\cdot x}$ mit $k=ln(b)$.

Die Ableitungen von e-Funktionen sind wieder e-Funktionen:

Für die Ableitung einer e-Funktion $g$ mit $g(x)=e^{k\cdot x}$ gilt:

$g^{\prime }(x)=k\cdot e^{k\cdot x}$.

Aufgabe 1

Nutze die Wissensbasis, um eine möglichst einfache Regel zur Bestimmung der Ableitung einer Exponentialfunktion vom Typ $f(x)=b^x$ herzuleiten.

Kontrolliere deine Regel mit dem Applet. Bestimme hierzu $c$ mit deiner Regel und stelle die gefundene Zahl mit dem Schieberegler ein.

Zum Herunterladen: ableitung_allgemeine_efunktion_1c.ggb

Aufgabe 2

Formuliere die Regel präzise und verdeutliche sie anhand eines Beispiels.