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Erarbeitung

Zur Orientierung

Wir betrachten die beiden folgenden Funktionstypen:

Exponentialfunktionen der Gestalt $f (x) = a \cdot b^{x}$
mit einer reellen Zahl $a$ und einer positiven reellen Zahl $b$ ungleich $1$ .
(Verallgemeinerte) e-Funktionen der Gestalt $g (x) = a \cdot e^{k \cdot x}$
mit einer reellen Zahl $a$ und einer reellen Zahl $k$ ungleich $0$

Zu klären sind folgende Fragen:

Leitfragen

Sind e-Funktionen vom Typ $g (x) = a \cdot e^{k \cdot x}$ Exponentialfunktionen vom Typ $f (x) = a \cdot b^{x}$ ?

Wenn ja, kann man alle Exponentialfunktionen mit Hilfe von e-Funktionen erfassen?

Die Leitfragen klären

Um uns dieser komplexen Fragestellung zu nähern, sollten wir die Situation erst einmal vereinfachen.

Aufgabe 1

Wie könnte man die Situation vereinfachen?

Vorschlag für die Vereinfachung

Wir betrachten vorerst nur den Fall

a = 1

Aufgabe 2

Versuche, mit dem folgenden Applet die Leitfrage für den vereinfachten Fall zu beantworten.

Kleinschrittigere Arbeitsaufträge ausklappen

Aufgabe 2a

Hier geht es um folgende Fragestellung:

Geg.: e-Funktionen vom Typ $g (x) = e^{k \cdot x}$

Ges.: Exponentialfunktion vom Typ $f (x) = b^{x}$ , so dass $f (x) = g (x)$ gilt

Stelle jeweils $b$ so ein, dass die Graphen von $f$ und $g$ (nahezu) übereinstimmen.

Geg.: $g (x) = e^{k \cdot x}$	Ges.: $f (x) = b^{x}$ mit $f (x) = g (x)$
$g (x) = e^{0.5 \cdot x}$
$g (x) = e^{1.5 \cdot x}$
$g (x) = e^{- 0.5 \cdot x}$

Aufgabe 2b

Hier geht es um die umgekehrte Fragestellung:

Geg.: Exponentialfunktionen vom Typ $f (x) = b^{x}$

Ges.: e-Funktion vom Typ $g (x) = e^{k \cdot x}$ , so dass $g (x) = f (x)$ gilt

Stelle jeweils $k$ so ein, dass die Graphen von $g$ und $f$ (nahezu) übereinstimmen.

Geg.: $f (x) = b^{x}$	Ges.: $g (x) = e^{k \cdot x}$ mit $g (x) = f (x)$
$f (x) = 2^{x}$
$f (x) = {1.5}^{x}$
$g (x) = {0.5}^{x}$

Zum Herunterladen: verschiedenedarstellungen1.ggb

Aufgabe 3

Formuliere ausgehend von den experimentellen Ergebnissen in Aufgabe 2 und Aufgabe 3 Vermutungen:

Vermutungen:

Jede e-Funktion vom Typ $g (x) = e^{k \cdot x}$ ...

Jede Exponentialfunktion vom Typ $f (x) = b^{x}$ ...

Aufgabe 4

In den Aufgaben 2 und 3 wurde jeweils der Anfangswert $a = 1$ betrachtet. Warum kann man diese Einschränkungen aufheben, wenn die Vermutungen stimmen?

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