Erarbeitung
Zur Orientierung
Wir betrachten die beiden folgenden Funktionstypen:
-
Exponentialfunktionen der Gestalt $f(x) = a \cdot b^{x}$
mit einer reellen Zahl $a$ und einer positiven reellen Zahl $b$ ungleich $1$. -
(Verallgemeinerte) e-Funktionen der Gestalt $g(x) = a \cdot e^{k \cdot x}$
mit einer reellen Zahl $a$ und einer reellen Zahl $k$ ungleich $0$
Zu klären sind folgende Fragen:
Leitfragen
Sind e-Funktionen vom Typ $g(x) = a \cdot e^{k \cdot x}$ Exponentialfunktionen vom Typ $f(x) = a \cdot b^{x}$?
Wenn ja, kann man alle Exponentialfunktionen mit Hilfe von e-Funktionen erfassen?
Die Leitfragen klären
Um uns dieser komplexen Fragestellung zu nähern, sollten wir die Situation erst einmal vereinfachen.
Aufgabe 1
Wie könnte man die Situation vereinfachen?
Aufgabe 2
Versuche, mit dem folgenden Applet die Leitfrage für den vereinfachten Fall zu beantworten.
Zum Herunterladen: verschiedenedarstellungen1.ggb
Aufgabe 3
Formuliere ausgehend von den experimentellen Ergebnissen in Aufgabe 2 und Aufgabe 3 Vermutungen:
Vermutungen:
Jede e-Funktion vom Typ $g(x) = e^{k \cdot x}$ ...
Jede Exponentialfunktion vom Typ $f(x) = b^x$ ...
Aufgabe 4
In den Aufgaben 2 und 3 wurde jeweils der Anfangswert $a = 1$ betrachtet. Warum kann man diese Einschränkungen aufheben, wenn die Vermutungen stimmen?