Erarbeitung – Ableitungsfunktionen benutzen

Zur Orientierung

Wir beschäftigen uns weiterhin mit folgender Frage:

Hier betrachten wir jetzt das Bevölkerungswachstum in Afrika.

Eine Bevölkerungsuhr simulieren

Aufgabe 1

(a) Überprüfe auch hier mithilfe der Daten auf der Weltbevölkerungsuhr, ob die im Applet angezeigten Werte realistisch sind.

(b) Die Entwicklung der Bevölkerung in Afrika ist hier als exponentieller Prozess modelliert. Gib die Parameter dieses exponentiellen Prozesses an.

Anleitung für das Applet

• Das Applet verdeutlicht die Bevölkerungsentwicklung in Afrika ab dem Jahr 2020 mithilfe einer Exponentialfunktion. Die Funktionsgleichung der Exponentialfunktion ist im Eingabefeld vorgegeben.
• Die schwarze Markierung auf der $x$-Achse kann man im Bereich von $0$ bis $50$ verschieben.
• Am Funktionsgraph werden dann jeweils der aktuelle Bevölkerungsstand sowie die aktuelle Wachstumsgeschwindigkeit angezeigt.

Zum Herunterladen: bevoelkerungswachstum_afrika1.ggb

Aufgabe 2

Wir suchen eine Funktionsgleichung für die Wachstumsgeschwindigkeit. Dazu findest du unter der Aufgabe ein neues Applet.

(a) Erzeuge zunächst Werte für die momentanen Wachstumsgeschwindigkeiten, indem du die schwarze Markierung auf der $x$-Achse im oberen Fenster hin und her bewegst. Welche Art von Funktion liegt hier vermutlich vor?

(b) Klicke auf den Knopf „Graphen anzeigen“. Es erscheinen drei Vorschläge für Funktionsgraphen für die Wachstumsgeschwindigkeit. Welcher von ihnen passt am besten zu den von dir ermittelten Wachstumsgeschwindigkeiten? Welchen Zusammenhang zur Funktion $f$ stellst du fest? Eventuell hilft es, den Schieberegler $a'$ zu verschieben.

(c) Beschreibe die Bedeutung des Schiebereglers $a'$ für die drei Graphen im unteren Fenster.

(d) Ergänze folgende Vermutung: „Wenn die Bevölkerung (in Afrika) exponentiell wächst, dann wächst die Wachstumsgeschwindigkeit (in Afrika) ... Dabei ist der Wachstumsfaktor der Wachstumsgeschwindigkeit ...“

(e) Verallgemeinere die Vermutung: „Wenn wir eine Exponentialfunktion $f$ betrachten, dann ist die Ableitungsfunktion $f'$ eine ... Die Basis von $f'$ ist dabei ...“

Anleitung für das Applet

• Das Applet verdeutlicht die Bevölkerungsentwicklung in Afrika ab dem Jahr 2020 mit Hilfe einer Exponentialfunktion. Die Funktionsgleichung der Exponentialfunktion ist im Eingabefeld vorgegeben.
• Die schwarze Markierung auf der $x$-Achse kann man im Bereich von $0$ bis $50$ verschieben.
• Am Funktionsgraph werden dann jeweils der aktuelle Bevölkerungsstand sowie die aktuelle Wachstumsgeschwindigkeit angezeigt.
• Zusätzlich zur Bevölkerungsentwicklung im oberen Fenster wird im unteren Fenster die Entwicklung der momentanen Wachstumsgeschwindigkeit angezeigt. Wenn man die schwarze Markierung auf der $x$-Achse im oberen Fenster hin und her bewegt, werden im unteren Fenster die jeweiligen momentanen Wachstumsgeschwindigkeiten mit Punkten im Koordinatensystem dargestellt.
• Mit der Checkbox lassen sich verschiedene Vorschläge für Graphen für die Wachstumsgeschwindigkeit einblenden.
• Mit dem Schieberegler $a'$ kann man den Anfangswert der Funktionen im unteren Fenster festlegen.

Zum Herunterladen: bevoelkerungswachstum_afrika2a.ggb

Aufgabe 3

(a) Den Zusammenhang, den wir in Aufgabe 2 herausgefunden haben, können wir noch mathematischer ausdrücken: „Es gilt $f'(x) = a' \cdot b^x$ mit einer Konstanten $a'$, wobei $b$ die Basis der Funktion $f$ ist.“ Erläutere das am Applet oben.

(b) Für Schnelle: Interessant wäre es, noch eine Vermutung für den Wert des Parameters $a'$ zu erhalten. Wie hängt er mit den Werten aus dem oberen Fenster zusammen? Nutze hierfür das folgende Applet.

Anleitung für das Applet

• Das Applet verdeutlicht die Bevölkerungsentwicklung in Afrika ab dem Jahr 2020 mit Hilfe einer Exponentialfunktion. Die Funktionsgleichung der Exponentialfunktion ist im Eingabefeld vorgegeben.
• Die schwarze Markierung auf der $x$-Achse kann man im Bereich von $0$ bis $50$ verschieben.
• Am Funktionsgraph werden dann jeweils der aktuelle Bevölkerungsstand sowie die aktuelle Wachstumsgeschwindigkeit angezeigt.
• Zusätzlich zur Bevölkerungsentwicklung im oberen Fenster wird im unteren Fenster die Entwicklung der momentanen Wachstumsgeschwindigkeit angezeigt. Wenn man die schwarze Markierung auf der $x$-Achse im oberen Fenster hin und her bewegt, werden im unteren Fenster die jeweiligen momentanen Wachstumsgeschwindigkeiten mit Punkten im Koordinatensystem dargestellt.
• Mit dem Schieberegler $a'$ kann man den Anfangswert der Exponentialfunktion $g$ festlegen.

Zum Herunterladen: bevoelkerungswachstum_afrika2.ggb