Erarbeitung

Zur Orientierung

Wir betrachten hier exponentielle Zerfallsprozesse, die mit einer e-Funktion vom Typ $g(t)=a\cdot e^{k\cdot t}$ beschrieben werden. Die Zerfallskonstante $k$ ist bei solchen Prozessen eine negative Zahl. Folgende Leitfrage soll hier geklärt werden:

Die Leitfrage experimentell klären

Mit dem folgenden Applet kannst du die Leitfrage experimentell klären.

Zum Herunterladen: zuordnungexperimentell.ggb

Aufgabe 1

Betrachte folgende e-Funktionen zur Beschreibung exponentieller Zerfallsprozesse. Bestimme jeweils experimentell die Halbwertszeit $t_H$.

Geg.: $g(t)=a\cdot e^{k\cdot t}$	Ges.: $t_H$
$g(t)=4\cdot e^{-0.1\cdot t}$
$g(t)=2\cdot e^{-0.2\cdot t}$
$g(t)=8\cdot e^{-0.5\cdot t}$

Die Leitfrage rechnerisch klären

Bearbeite die folgenden Aufgaben.

Aufgabe 2

Betrachte die Funktion $g(t)=4\cdot e^{-0.1\cdot t}$ zur Beschreibung eines exponentiellen Wachstumsprozesses.

(a) Erkläre: Die Halbwertszeit $t_H$ erfüllt folgende Bedingung: $g(t_H)=\frac{1}{2}\cdot g(0)$ bzw. $4\cdot e^{-0.1\cdot t_H}=2$.

(b) Löse die Gleichung $4\cdot e^{-0.1\cdot t_H}=2$ nach $t_H$ auf.

(c) Kontrolliere das Ergebnis, indem du es mit dem experimentell bestimmten Ergebnis in Aufgabe 1 vergleichst.

Aufgabe 3

Betrachte eine beliebige Funktion $g(t)=a\cdot e^{k\cdot t}$ zur Beschreibung eines exponentiellen Wachstumsprozesses.

Die Halbwertszeit $t_H$ erfüllt folgende Bedingung: $g(t_H)=\frac{1}{2}\cdot g(0)$.

Stelle analog zum Vorgehen in Aufgabe 2 eine Gleichung auf und löse sie nach $t_H$ auf. Du erhältst dann eine Formel, mit der man die Halbwertszeit $t_H$ aus dem Zerfallskonstante $k$ berechnen kann.

Kontrolle

$t_H={\displaystyle \frac{\ln (1/2)}{k}}$