Vertiefung

Zur Orientierung

Wir betrachten hier weiterhin folgende Leitfrage:

Die mit Hilfe der Daten ermittelten Wachstumsfaktoren [pro Tag] deuten darauf hin, dass das Wachstum der COVID-Infizierten nicht im gesamten betrachteten Zeitraum vom 01.03.2020 bis zum 31.03.2020 exponentiell ist.

Zum Herunterladen: corona2.ggb

Der erste Wachstumsfaktor $2.63$ scheint ein Ausreißer zu sein. Solche Ausreißer sind durch die unklare Situation zu Beginn der Pandemie leicht zu erklären. Im Zeitraum vom 02.03.2020 bis zum 21.03.2020 liegt der Wachstumsfaktor [pro Tag] stets in der Nähe des Werts $1.2$ – manchmal darüber, manchmal auch darunter. Ziel ist es, das Wachstum der Infiziertenzahl in diesem reduzierten Zeitraum mit einer Exponentialfunktion zu beschreiben.

Das Wachstum der Infiziertenzahl mit einer Exponentialfunktion beschreiben

Aufgabe 1 – experimentell vorgehen

Im Applet sind Schieberegler vorgesehen, mit deren Hilfe man die Parameter einer e-Funktion passend zu den Daten einstellen kann. Betrachte das Zeitintervall vom 02.03.2020 bis zum 21.03.2020. Versuche experimentell die e-Funktion so zu bestimmen, dass sie die Entwicklung der Infiziertenzahl im betrachteten Zeitintervall gut beschreibt. Du wirst vermutlich feststellen, dass dieser experimentelle Ansatz nicht gut funktioniert.

Aufgabe 2 – rechnerisch vorgehen

Wir gehen hier von folgender Anforderung aus: Der Graph der Exponentialfunktion soll genau zu den Daten zum 02.03.2020 und zum 21.03.2020 passen. Die entsprechenden Punkte im Koordinatensystem sind $P(1|150)$ und $Q(20|21828)$. Beachte, dass der Tag 01.03.2020 als Zeitpunkt $t=0$ gesetzt wird. Wenn der Graph der e-Funktion $g(x)=a\cdot e^{k\cdot x}$ durch diese beiden Punkte verlaufen soll, dann müssen folgende Bedingungen erfüllt sein.

• (1) $g(1)=150$ bzw. $a\cdot e^{k\cdot 1}=150$
• (1) $g(20)=21828$ bzw. $a\cdot e^{k\cdot 20}=21828$

Bestimme $a$ und $k$ mit diesen Bedingungen. Stelle diese Werte dann im Applet oben ein. Überprüfe, ob der Graph zu den Punkten im Koordinatensystem passt.

Kontrolle

$a\approx 115$ und $k\approx 0.26$