Vertiefung

Zur Orientierung

Wir betrachten die beiden folgenden Funktionstypen:

• Exponentialfunktionen der Gestalt $f(x)=a\cdot b^x$
  mit einer reellen Zahl $a$ und einer positiven reellen Zahl $b$ ungleich $1$.
• (Verallgemeinerte) e-Funktionen der Gestalt $g(x)=a\cdot e^{k\cdot x}$
  mit einer reellen Zahl $a$ und einer reellen Zahl $k$ ungleich $0$

Zu klären sind weiterhin folgende Fragen:

Im letzten Abschnitt hast du diese Leitfragen experimentell geklärt. Hier sollst du jetzt die Nachweise führen.

Die Leitfragen klären

Wir betrachten vorerst nur den Fall $a=1$.

Aufgabe 1

Hier geht es um folgende Fragestellung:

Geg.: e-Funktionen vom Typ $g(x)=e^{k\cdot x}$

Ges.: Exponentialfunktion vom Typ $f(x)=b^x$, so dass $f(x)=g(x)$ gilt

(a) Erläutere die folgende Umformungen. Welches Rechengesetz wird hierbei benutzt?

$\begin{array}{lrl}g(x)& =& e^{k\cdot x}\\ & =& {\left(e^k\right)}^x\\ & =& b^x& \text{mit }b=e^k\end{array}$

(b) Benutze diese Umformung, um die gesuchten Exponentialfunktionen zu bestimmen. Vergleiche mit den experimentell gefundenen Ergebnissen.

Geg.: $g(x)=e^{k\cdot x}$	Ges.: $f(x)=b^x$ mit $f(x)=g(x)$
$g(x)=e^{0.5\cdot x}$
$g(x)=e^{1.5\cdot x}$
$g(x)=e^{-0.5\cdot x}$

Aufgabe 2

Hier geht es um die umgekehrte Fragestellung:

Geg.: Exponentialfunktionen vom Typ $f(x)=b^x$

Ges.: e-Funktion vom Typ $g(x)=e^{k\cdot x}$, so dass $g(x)=f(x)$ gilt

(a) Erläutere die folgende Umformungen. Welches Rechengesetz wird hierbei benutzt?

$\begin{array}{lrl}f(x)& =& b^x\\ & =& {\left(e^{\ln (b)}\right)}^x\\ & =& e^{\ln (b)\cdot x}\\ & =& e^{k\cdot x}& \text{mit }k=\ln (b)\end{array}$

(b) Benutze diese Umformung, um die e-Funktionen zu bestimmen. Vergleiche mit den experimentell gefundenen Ergebnissen.

Geg.: $f(x)=b^x$	Ges.: $g(x)=e^{k\cdot x}$ mit $g(x)=f(x)$
$f(x)=2^x$
$f(x)={1.5}^x$
$g(x)={0.5}^x$

Aufgabe 3

Die Vermutung können jetzt als nachgewiesene Ergebnisse formuliert werden. Ergänze den fehlenden Teile im folgenden Satz.