Einstieg – Das Problem

Das Problem formulieren

Im letzten Kapitel wurde eine mögliche Bevölkerungsentwicklung in Afrika mit folgendem Applet untersucht:

Zum Herunterladen: bevoelkerungswachstum_afrika.ggb

Wenn man die schwarze Markierung auf der $x$-Achse im oberen Fenster hin und her bewegt, werden im unteren Fenster die jeweiligen momentanen Wachstumsgeschwindigkeiten mit Punkten im Koordinatensystem dargestellt. Die momentanen Wachstumsgeschwindigkeiten entsprechen den Ableitungswerten der Funktion zur Beschreibung des Bevölkerungswachstums. Das Applet lässt folgenden Zusammenhang vermuten:

Vermutung: Die Ableitungsfunktion einer Exponentialfunktion ist ebenfalls eine Exponentialfunktion - mit genau derselben Basis.

Wir werden uns im Folgenden mit dieser Vermutung auseinandersetzen.

Aufgabe 1

Die Frage könnte man direkt beantworten, indem man eine Exponentialfunktion mit einer passenden Regel ableitet. Warum geht das hier nicht so einfach? Warum helfen die bisher bekannten Regeln beim Ableiten von Exponentialfunktionen nicht weiter? Erläutere das kurz. Wiederhole dabei auch die bisher erarbeiteten Ableitungsregeln.