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Erarbeitung – geometrisch-experimentelles Vorgehen

Ableitungen geometrisch abschätzen

Die Ableitung einer Funktion an einer Stelle $x$ kann man geometrisch als Steigung des Funktionsgraphen im zugehörigen Punkt $P (x | f (x))$ deuten.

Ziel

Wir nutzen die geometrische Deutung der Ableitung, um den Graph und auch die Funktionsgleichung der Ableitungsfunktion einer Exponentialfunktion zu bestimmen.

Wir gehen dabei exemplarisch vor und werden nur ein – charakteristisches – Beispiel einer Exponentialfunktion betrachten. Das Vorgehen ist aber auf andere Exponentialfunktionen übertragbar. Zur Einfachheit nutzen wir zuerst eine Funktion ohne Vorfaktor. Sie hat also die Form $f (x) = b^{x}$ .

Aufgabe 1

Beschreibe, wie man den Zusammenhang zwischen Ableitung und Steigung einer Funktion nutzen kann, um für eine gegebene Exponentialfunktion den Graphen der Ableitungsfunktion zu erzeugen.

Kontrolle

Die Steigung einer Funktion entspricht der Steigung der Tangente an den Funktionsgraphen durch den Punkt $P (x | f (x))$ . Man kann nun an verschiedenen Stellen kleine Tangentenstücke in den Funktionsgraphen einzeichnen, um die Steigung der Funktion zu bestimmen, und die Steigung dann in einem Koordinatensystem darunter für den Graphen der Ableitung eintragen. Das Vorgehen wird graphisches Ableiten genannt.

Aufgabe 2

Lies dir die Anleitung des Applets unter der Aufgabe durch. Gehe dann entsprechend vor und schätze mithilfe der einstellbaren Tangentenschnipsel Ableitungswerte für die im Applet vorgegebene Exponentialfunktion $f (x) = 2^{x}$ ab. Trage die Ergebnisse in der folgenden Tabelle ein.

$x$	$f^{'} (x)$ [abgeschätzte Werte]
$0$
$1$
$2$

Kontrolle

$f^{'} (0) \approx 0.7$
$f^{'} (1) \approx 1.4$
$f^{'} (2) \approx 2.8$

Anleitung für das Applet

Im Eingabefeld links oben kann man die Funktionsgleichung der zu untersuchenden Exponentialfunktion eingeben. Betrachte zunächst die voreingestellte Exponentialfunktion $f (x) = 2^{x}$ .
Die betrachteten Stellen sind ebenfalls vorgegeben. Die Stellen legen (rot eingefärbte) Punkte auf dem Funktionsgraphen fest. Ziel ist es, die Steigungen des Funktionsgraphen in diesen Punkten abzuschätzen.
Man könnte die Stellen durch ein Verschieben der rot eingefärbten Punkte verändern. Belasse es vorerst aber bei den voreingestellten Stellen.
Zur Abschätzung der Steigungen des Funktionsgraphen in den vorgegebenen Punkten dienen die Tangentenschnipsel. Ihre Länge kann man mit dem entsprechenden Schieberegler einstellen. Für eine übersichtliche Darstellung sind kurze Längen geeignet. Für die Ausrichtung der Tangenten sollte man eine größere Länge wählen.
Die Tangentenschnipsel sind drehbar. Man kann so die Steigung der Tangenten so einstellen, dass sie genau mit den Steigungen des Funktionsgraphen in diesen Punkten übereinstimmen. Versuche nach Augenmaß, die Tangenten passend zum Funktionsgraphen auzurichten. Du erhältst dann Näherungswerte für die Ableitungen an den betrachteten Stellen.
Die Tangentensteigungen werden jeweils mit $m = \dots$ angezeigt und zusätzlich mit entsprechenden (grün eingefärbten) Punkten im Koordinatensystem dargestellt.
Zur Kontrolle der Tangentensteigungen kann man einen Kontrollgraph einblenden. Die grün eingefärbten Punkte sollten optimalerweise auf diesem Kontrollgraph liegen. Nutze diese Kontrolle aber erst, nachdem du alle Tangentensteigungen eingestellt hast.

Zum Herunterladen: ableitung_exponentialfunktionen_exp_1.ggb
Das Applet basiert auf dem Applet Ableitung mit Geradenstücken. [1]

Aufgabe 3

Wir hatten die Vermutung aufgestellt, dass die Ableitungsfunktion $f^{'}$ einer Exponentialfunktion $f$ wieder eine Exponentialfunktion ist – und zwar mit derselben Basis. Die Basis von $f^{'}$ müsste im oberen Beispiel also $2$ sein. Beschreibe die Auswirkungen, die das haben müsste, und überprüfe, ob deine ermittelten Werte aus Aufgabe 2 zu einer Basis 2 passen.

Hilfe

Eine Exponentialfunktion zeichnet sich durch folgendes Verhalten aus: Wenn man den $x$ -Wert um $1$ erhöht, dann wird der $y$ -Wert mit dem Wachstumsfaktor multipliziert.

Weitere Hilfe

Im konkreten Fall heißt das: Wenn der

x

-Wert um

1

größer wird, muss sich der

y

-Wert verdoppeln. Überprüfe, ob das sowohl für die Funktion

f

als auch für die abgeschätzten Ableitungswerte gilt.

Aufgabe 4

Bestimme mithilfe der Werte in der Tabelle und der Eigenschaft in Aufgabe 3 eine Funktionsgleichung für $f^{'} (x)$ .

Hilfe

Wir hatten schon die Vermutung aufgestellt, dass $f^{'} (x) = a^{'} \cdot b^{x}$ . In Aufgabe 3 wurde der Wert von $b$ überprüft. Nun muss noch der Vorfaktor $a^{'}$ bestimmt werden.

Kontrolle

Aus der Eigenschaft zur Schrittweite um $1$ gehört der Wachstumsfaktor $2$ und dem Startwert $f^{'} (0) \approx 0.7$ kann man erschließen, dass die Ableitungsfunktion zur Exponentialfunktion $f (x) = 2^{x}$ eine Exponentialfunktion der Gestalt $f^{'} (x) = a^{'} \cdot 2^{x}$ ist mit $a^{'} = f^{'} (0) \approx 0.7$ .

🎯 Zwischenstand

Wenn wir die gegebene Funktion $f (x) = 2^{x}$ grafisch ableiten, erhalten wir erneut eine Exponentialfunktion mit derselben Basis. Was sich dabei ändert, ist jedoch der Startwert $a^{'}$ . Experimentell haben wir herausgefunden, dass $a^{'} \approx 0.7$ . Das entspricht der Steigung der Funktion $f$ an der Stelle $x = 0$ .

Wir werden diese gefundene Größe künftig $c$ nennen. Hier also: $c = f^{'} (0) \approx 0.7$ . Zusammenfassend gilt dann anscheinend: $f^{'} (x) = c \cdot 2^{x}$ . Die nächste Aufgabe dient dazu, diesen Zwischenstand noch einmal zu überprüfen.

Aufgabe 5

Stelle im folgenden Applet die in Aufgabe 4 bestimmte Funktionsgleichung für $f^{'} (x)$ ein. Nutze hierfür den Schieberegler für die Zahl $c$ . Erkläre anhand des Applets, wie man jetzt erkennt, dass alle Ableitungen richtig abgeschätzt wurden.

Zum Herunterladen: ableitung_exponentialfunktionen_exp_2.ggb Das Applet basiert auf dem Applet Ableitung mit Geradenstücken. [2]

Quellen

[1]: GeoGebra-Applet - Ableitung mit Geradenstücken - Urheber: MaTeGnu -
[2]: GeoGebra-Applet - Ableitung mit Geradenstücken - Urheber: MaTeGnu -

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