Vertiefung

Zur Orientierung

Wir ändern die Leitfrage hier etwas ab:

Zusammenhänge kombinieren

Aufgabe 1

(a) Betrachte einen exponentiellen Wachstumsprozess mit dem Wachstumsfaktor $1.5$ zur Schrittweite $1$ und einem beliebigen Anfangswert $a$. Beschreibe diesen Wachstumsprozess zunächst mit einer e-Funktion vom Typ $g(t)=a\cdot e^{k\cdot t}$. Bestimme anschließend die Verdopplungszeit $t_D$.

(b) Betrachte einen exponentiellen Wachstumsprozess mit der prozentualen Wachstumsrate $2\mathrm{\%}$ zur Schrittweite $1$ und einem beliebigen Anfangswert $a$. Beschreibe diesen Wachstumsprozess zunächst mit einer e-Funktion vom Typ $g(t)=a\cdot e^{k\cdot t}$. Bestimme anschließend die Verdopplungszeit $t_D$.

Aufgabe 2

(a) Betrachte einen beliebigen exponentiellen Wachstumsprozess mit dem Wachstumsfaktor $b$ zur Schrittweite $1$ und einem beliebigen Anfangswert $a$. Leite folgende Formel für die Verdopplungszeit $t_D$ her.

$t_D={\displaystyle \frac{\ln (2)}{\ln (b)}}$

(b) Betrachte einen exponentiellen Wachstumsprozess mit der prozentualen Wachstumsrate $p\mathrm{\%}$ zur Schrittweite $1$ und einem beliebigen Anfangswert $a$. Leite folgende Formel für die Verdopplungszeit $t_D$ her.

$t_D={\displaystyle \frac{\ln (2)}{\ln (1+p/100)}}$

Aufgabe 3

(a) Wenn die prozentuale Wachstumsrate $p$ kleiner als $10$ ist, dann kann man folgende Näherung verwenden: ${\displaystyle \ln (1+\frac{p}{100})\approx \frac{p}{100}}$. Nutze diesen Zusammhang, um die Faustformel $p\cdot t_D\approx 69$ (für kleine $p$-Werte) herzuleiten.

(b) Bestimme die Verdopplungszeiten bei exponentiellen Wachstumsprozessen mit der Faustformel $p\cdot t_D\approx 69$.

prozentuale Wachstumsrate	Verdopplungszeit
$5\mathrm{\%}$
$1\mathrm{\%}$
$7\mathrm{\%}$
$1.4\mathrm{\%}$

(c) Erläutere den Nutzen der Faustformel, wenn man sich einen Überblick über einen exponentiellen Wachstumsprozess verschaffen möchte.