Erarbeitung

Eine e-Funktion logarithmieren

Das Applet verdeutlicht einen interessanten Zusammenhang. Im unteren Fenster ist eine e-Funktion $g(x)=a\cdot e^{k\cdot x}$ mit den einstellbaren Parametern $a$ und $k$ dargestellt. Im oberen Fenster ist die Funktion $h(x)=\ln (g(x))$ grafisch dargestellt.

Zum Herunterladen: linearexponentiell2.ggb

Variiere die Parameter $a$ und $k$. Was fällt auf?

Logarithmengesetze bei der Argumentation benutzen

Für die $\ln$-Funktion gelten die üblichen Logarithmengesetze:

Aufgabe 1

Benutze die passenden Logarithmengesetze, um folgenden Zusammenhang herzuleiten und zu ergänzen.

Betrachte die e-Funktion $g(x)=a\cdot e^{k\cdot x}$. Die Funktion $h(x)=\ln (g(x))$ ist dann eine lineare Funktion mit $h(x)=m\cdot x+b$ mit der Steigung $m=\dots$ und dem $y$-Abschnitt $b=\dots$.

Eine lineare Funktion exponieren

Im folgenden Applet wird die umgekehrte Situation gezeigt. Im oberen Fenster ist eine lineare Funktion $f(x)=m\cdot x+b$ mit den einstellbaren Parametern $m$ und $b$ dargestellt. Im unteren Fenster ist die Funktion $g(x)=e^{f(x)}$ grafisch dargestellt.

Zum Herunterladen: linearexponentiell1.ggb

Variiere die Parameter $m$ und $b$ der linearen Funktion. Was fällt auf?

Potenzgesetze bei der Argumentation benutzen

Für die e-Funktion gelten die üblichen Potenzgesetze:

Aufgabe 2

Benutze die passenden Potenzgesetze, um folgenden Zusammenhang herzuleiten und zu ergänzen.

Betrachte eine lineare Funktion $f(x)=m\cdot x+b$. Die Funktion $g(x)=e^{f(x)}$ ist dann eine e-Funktion vom Typ $g(x)=a\cdot e^{k\cdot x}$ mit dem Anfangswert $a=\dots$ und der Wachstumskonstande $k=\dots$.