o-mathe | Erkundung – e-Funktion mit Parametern

Einstieg

Die e-Funktion mit einem Anfangswert $a$

Ziel 1

Wir betrachten e-Funktionen, die mit einem zusätzlichen Parameter $a$ multipliziert werden:

$g (x) = a \cdot e^{x}$

Der Parameter $a$ kann dabei eine beliebige reelle Zahl (ungleich $0$ ) sein. Man nennt $a$ auch Anfangswert.

Aufgabe 1

Beschreibe, wie der Graph von $g (x) = a \cdot e^{x}$ aus dem Graph von $f (x) = e^{x}$ entsteht. Nutze dafür das Applet unter der Aufgabe. Betrachte die folgenden 4 Fälle:

Fall 1: $0 < a < 1$
Fall 2: $a > 1$
Fall 3: $- 1 < a < 0$
Fall 4: $a < - 1$

Anleitung für das Applet

Im Applet ist der Graph der e-Funktion $f (x) = e^{x}$ vorgegeben (violett eingefärbt).
Mit dem Schieberegler kann man den Wert von $a$ einstellen. Angezeigt wird der Graph von $g (x) = a \cdot e^{x}$ (schwarz eingefärbt).
Mit [strecken / stauchen] wird der Graph von $g (x) = a \cdot e^{x}$ aus dem Graph von $f (x) = e^{x}$ schrittweise erzeugt.
Mit [Neustart] kann man den Ausgangszustand wieder herstellen.
Wenn man einen negativen $a$ -Wert einstellt, wird zusätzlich der Graph der Hilfsfunktion $\overset{―}{f} (x) = - e^{x}$ angezeigt.

Zum Herunterladen: allgemeineefunktion2.ggb

Die e-Funktion mit einer Wachstumskonstante k

Ziel 2

Wir betrachten e-Funktionen, die im Exponent einen zusätzlichen Parameter $k$ haben:

$g (x) = e^{k \cdot x}$

Der Parameter $k$ kann dabei eine beliebige reelle Zahl (ungleich $0$ ) sein. Man nennt $k$ auch Wachstumskonstante.

Aufgabe 2

Beschreibe, wie der Graph von $g (x) = e^{k \cdot x}$ aus dem Graph von $f (x) = e^{x}$ entsteht. Nutze dafür das Applet unter der Aufgabe. Betrachte die folgenden 4 Fälle:

Fall 1: $0 < k < 1$
Fall 2: $k > 1$
Fall 3: $- 1 < k < 0$
Fall 4: $k < - 1$

Anleitung für das Applet

Im Applet ist der Graph der e-Funktion $f (x) = e^{x}$ vorgegeben (violett eingefärbt).
Mit dem Schieberegler kann man den Wert von $k$ einstellen. Angezeigt wird der Graph von $g (x) = e^{k \cdot x}$ (schwarz eingefärbt).
Mit [strecken / stauchen] wird der Graph von $g (x) = e^{k \cdot x}$ aus dem Graph von $f (x) = e^{x}$ schrittweise erzeugt.
Mit [Neustart] kann man den Ausgangszustand wieder herstellen.
Wenn man einen negativen $k$ -Wert einstellt, wird zusätzlich der Graph der Hilfsfunktion $\overset{―}{f} (x) = e^{- x}$ angezeigt.

Zum Herunterladen: allgemeineefunktion1.ggb

Parameter kombinieren

Man kann e-Funktionen auch mit beiden Parametern – einem Anfangswert $a$ und einem Wachstumsfaktor $k$ – versehen:

Verallgemeinerte e-Funktion

Funktionen der Form $g (x) = a \cdot e^{k \cdot x}$ nennen wir e-Funktionen mit Parametern oder verallgemeinerte e-Funktionen oder oft kurz auch nur e-Funktionen.

Aufgabe 3

Übernimm die Definition in deine Unterlagen. Ergänze darunter eine Beschreibung, was der Anfangswert und der Wachstumsfaktor bewirken. Verwende dafür die Begriffe Strecken/Stauchen in $x$ - und $y$ -Richtung sowie Spiegelung an der $x$ - und $y$ -Achse.

Ziel dieser Lernstrecke

Eigentlich sind wir mit Exponentialfunktionen der Form $f (x) = a \cdot b^{x}$ gestartet. Zu klären ist also, ob solche verallgemeinerten e-Funktionen auch Exponentialfunktionen sind. Das wird im nächsten Abschnitt untersucht.

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