Überprüfung – Ableitung von Exponentialfunktionen

Aufgabe 1

Richtig oder falsch? Begründe deine Antwort.

(A) Für $f(x)=10\cdot 2^x$ gilt $f^{\prime }(x)=10\cdot x\cdot 2^{x-1}$.

(B) Für $f(x)=10\cdot 2^x$ gilt $f^{\prime }(x)=10c\cdot 2^x$ mit $c=\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{2^h-1}{h}}$.

(C) Für $f(x)={10}^x$ gilt $f^{\prime }(x)=c\cdot f(x)$ mit $c=f^{\prime }(0)$.

(D) Für $f(x)={10}^x$ gilt $f^{\prime }(x)=10\cdot {10}^x$.

Aufgabe 2 – Die Herleitung der Ableitung erneut nachvollziehen

In dieser Aufgabe kannst du noch einmal nachvollziehen, wie man eine Exponentialfunktion ableitet: Es wird dafür die Funktion $f(x)=2^x$ betrachtet.

(a) Bringe die Umformungsschritte in die richtige Reihenfolge; beginne mit „$f^{\prime }(x)=$“.

Beachte: In der Strukturierung wurde der Differenzenquotient umgestellt und im Anschluss der Grenzwert gebildet. In der LearningApp wird stattdessen direkt der Differentialquotient umgestellt. Daher muss der Ausdruck $\underset{h\to \mathrm{\infty }}{lim}$ immer mitgeführt werden. Beide Herleitungen enden aber am selben Punkt: Um eine Funktionsgleichung für $f^{\prime }$ zu erhalten, muss noch $f^{\prime }(0)=\underset{h\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2^h-1}{h}$ bestimmt werden.

(b) Beschreibe, wie wir den fehlenden Wert $f^{\prime }(0)$ geometrisch und rechnerisch bestimmen können. Erkläre, warum beide Methoden nicht zufriedenstellend sind.

Quelle: LearningApps