Überprüfung – Ableitung von Exponentialfunktionen
Aufgabe 1
Richtig oder falsch? Begründe deine Antwort.
(A) Für $f(x) = 10\cdot 2^x$ gilt $f'(x) = 10 \cdot x \cdot 2^{x-1}$.
(B) Für $f(x) = 10\cdot 2^x$ gilt $f'(x) = 10c \cdot 2^x$ mit $c = \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\displaystyle{\frac{2^h - 1}{h}}}$.
(C) Für $f(x) = 10^x$ gilt $f'(x) = c \cdot f(x)$ mit $c = f'(0)$.
(D) Für $f(x) = 10^x$ gilt $f'(x) = 10 \cdot 10^x$.
Aufgabe 2 – Die Herleitung der Ableitung erneut nachvollziehen
In dieser Aufgabe kannst du noch einmal nachvollziehen, wie man eine Exponentialfunktion ableitet: Es wird dafür die Funktion $f(x) = 2^x$ betrachtet.
(a) Bringe die Umformungsschritte in die richtige Reihenfolge; beginne mit „$f'(x)=$“.
Beachte: In der Strukturierung wurde der Differenzenquotient umgestellt und im Anschluss der Grenzwert gebildet. In der LearningApp wird stattdessen direkt der Differentialquotient umgestellt. Daher muss der Ausdruck $\lim_{h \to \infty}$ immer mitgeführt werden. Beide Herleitungen enden aber am selben Punkt: Um eine Funktionsgleichung für $f'$ zu erhalten, muss noch $f'(0) = \lim_{h\to\infty} \frac{2^h-1}{h}$ bestimmt werden.
(b) Beschreibe, wie wir den fehlenden Wert $f'(0)$ geometrisch und rechnerisch bestimmen können. Erkläre, warum beide Methoden nicht zufriedenstellend sind.
Quelle: LearningApps
