Zusammenfassung – Verdopplungs- und Halbwertszeit

Klärung der Begriffe

Die Verdopplungs- und Halbwertszeit sind wichtige Größen, die man zur Charakterisierung von exponentiellen Wachstums- und Zerfallsprozessen benutzt.

Die Verdopplungszeit $t_D$ ist die Zeit bei einem exponentiellen Wachstumsprozess, in der sich jeweils ein Bestandswert verdoppelt.

Wenn der Wachstumsprozess mit der Funktion $g(t)=a\cdot e^{k\cdot t}$ beschrieben wird, dann gilt $g(t+t_V)=2\cdot g(t)$ für alle Ausgangszeiten $t$. Das folgende Applet verdeutlicht diesen Zusammenhang. Den blau markierten Punkt kann man auf dem Graph der Funktion $g$ bewegen.

Zum Herunterladen: verdopplungszeit.ggb

Die Halbwertszeit $t_H$ ist analog hierzu die Zeit bei einem exponentiellen Zerfallsprozess, in der sich jeweils ein Bestandswert halbiert.

Wenn der Zerfallsprozess mit der Funktion $g(t)=a\cdot e^{k\cdot t}$ beschrieben wird, dann gilt $g(t+t_H)=\frac{1}{2}\cdot g(t)$ für alle Ausgangszeiten $t$. Das Applet folgende verdeutlicht diesen Zusammenhang. Den blau markierten Punkt kann man auf dem Graph der Funktion $g$ bewegen.

Zum Herunterladen: halbwertszeit.ggb

Bestimmung der Verdopplungszeit

Wir betrachten eine beliebige Funktion $g(t)=a\cdot e^{k\cdot t}$ zur Beschreibung eines exponentiellen Wachstumsprozesses. Beachte, dass $k$ dann eine positive Zahl ist.

Die Verdopplungszeit $t_D$ erfüllt die Bedingung $g(t_D)=2\cdot g(0)$.

Hieraus resultiert dann die folgende Gleichung, die nach $t_D$ aufgelöst wird.

$\begin{array}{lrll}a\cdot e^{k\cdot t_D}& =& 2a& |:a(\ne 0)\\ e^{k\cdot t_D}& =& 2& |\ln \\ k\cdot t_D& =& \ln (2)& |:k(\ne 0)\\ t_D& =& \frac{\ln (2)}{k}\end{array}$

Bestimmung der Halbwertszeit

Wir betrachten eine beliebige Funktion $g(t)=a\cdot e^{k\cdot t}$ zur Beschreibung eines exponentiellen Zerfallsprozesses. Beachte, dass $k$ dann eine negative Zahl ist.

Die Halbwertszeit $t_H$ erfüllt die Bedingung $g(t_H)=\frac{1}{2}\cdot g(0)$.

Hieraus resultiert dann die folgende Gleichung, die nach $t_H$ aufgelöst wird.

$\begin{array}{lrll}a\cdot e^{k\cdot t_H}& =& \frac{a}{2}& |:a(\ne 0)\\ e^{k\cdot t_H}& =& \frac{1}{2}& |\ln \\ k\cdot t_H& =& \ln (1/2)& |:k(\ne 0)\\ t_H& =& \frac{\ln (1/2)}{k}\end{array}$

Die $p\cdot t_D$-Regel

In der Praxis beschreibt man einen exponentiellen Wachstumsprozess oft mit einer prozentualen Wachstumsrate von $p\mathrm{\%}$. Für die Wachstumskonstante gilt dann $k=ln(1+p/100)$. Wenn $p$ klein ist (die prozentuale Wachstumsrate sollte kleiner als $10\mathrm{\%}$ sein), dann gilt $k=ln(1+p/100)\approx p/100$. Mit diesem Wert erhält man dann für die Verdopplungszeit:

$t_D=\frac{\ln (2)}{k}\approx \frac{\ln (2)}{p/100}=\frac{100\cdot \ln (2)}{p}\approx \frac{69}{p}$

Mit einer Umformung ergibt sich dann die $p\cdot t_D$-Regel, mit der man $t_D$ direkt aus $p$ abschätzen kann, sofern $p$ klein ist.

$p\cdot t_D\approx 69$