Einstieg
Die e-Funktion mit einem Anfangswert $a$
Ziel 1
Wir betrachten e-Funktionen, die mit einem zusätzlichen Parameter $a$ multipliziert werden:
$g(x) = a \cdot e^{x}$
Der Parameter $a$ kann dabei eine beliebige reelle Zahl (ungleich $0$) sein. Man nennt $a$ auch Anfangswert.
Aufgabe 1
Beschreibe, wie der Graph von $g(x) =a \cdot e^{x}$ aus dem Graph von $f(x) = e^x$ entsteht. Nutze dafür das Applet unter der Aufgabe. Betrachte die folgenden 4 Fälle:
- Fall 1: $0 \text{ < } a \text{ < } 1$
- Fall 2: $a > 1 $
- Fall 3: $-1 \text{ < } a \text{ < } 0$
- Fall 4: $a \text{ < } -1$
Anleitung für das Applet
- Im Applet ist der Graph der e-Funktion $f(x) = e^x$ vorgegeben (violett eingefärbt).
- Mit dem Schieberegler kann man den Wert von $a$ einstellen. Angezeigt wird der Graph von $g(x) = a \cdot e^{x}$ (schwarz eingefärbt).
- Mit [strecken / stauchen] wird der Graph von $g(x) = a \cdot e^{x}$ aus dem Graph von $f(x) = e^x$ schrittweise erzeugt.
- Mit [Neustart] kann man den Ausgangszustand wieder herstellen.
- Wenn man einen negativen $a$-Wert einstellt, wird zusätzlich der Graph der Hilfsfunktion $\overline{f}(x) = -e^{x}$ angezeigt.
Zum Herunterladen: allgemeineefunktion2.ggb
Die e-Funktion mit einer Wachstumskonstante k
Ziel 2
Wir betrachten e-Funktionen, die im Exponent einen zusätzlichen Parameter $k$ haben:
$g(x) = e^{k \cdot x}$
Der Parameter $k$ kann dabei eine beliebige reelle Zahl (ungleich $0$) sein. Man nennt $k$ auch Wachstumskonstante.
Aufgabe 2
Beschreibe, wie der Graph von $g(x) = e^{k \cdot x}$ aus dem Graph von $f(x) = e^x$ entsteht. Nutze dafür das Applet unter der Aufgabe. Betrachte die folgenden 4 Fälle:
- Fall 1: $0 \text{ < } k \text{ < } 1$
- Fall 2: $k > 1$
- Fall 3: $-1 \text{ < } k \text{ < } 0$
- Fall 4: $k \text{ < } -1$
Anleitung für das Applet
- Im Applet ist der Graph der e-Funktion $f(x) = e^x$ vorgegeben (violett eingefärbt).
- Mit dem Schieberegler kann man den Wert von $k$ einstellen. Angezeigt wird der Graph von $g(x) = e^{k \cdot x}$ (schwarz eingefärbt).
- Mit [strecken / stauchen] wird der Graph von $g(x) = e^{k \cdot x}$ aus dem Graph von $f(x) = e^x$ schrittweise erzeugt.
- Mit [Neustart] kann man den Ausgangszustand wieder herstellen.
- Wenn man einen negativen $k$-Wert einstellt, wird zusätzlich der Graph der Hilfsfunktion $\overline{f}(x) = e^{-x}$ angezeigt.
Zum Herunterladen: allgemeineefunktion1.ggb
Parameter kombinieren
Zwischenstand und Ziel dieser Lernstrecke
Man kann e-Funktionen auch mit beiden Parametern – einem Anfangswert $a$ und einem Wachstumsfaktor $k$ – versehen:
$g(x) = a \cdot e^{k \cdot x}$
Solche Funktionen nennen wir e-Funktionen mit Parametern oder verallgemeinerte e-Funktionen oder oft kurz auch nur e-Funktionen. Die Graphen solcher verallgemeinerter e-Funktionen erhält man durch Streckungen (bzw. Stauchungen) in $x$- und $y$-Richtung.
Doch eigentlich sind wir mit Exponentialfunktionen der Form $f(x) = a \cdot b^x$ gestartet. Zu klären ist also, ob solche verallgemeinerten e-Funktionen auch Exponentialfunktionen sind. Das wird im nächsten Abschnitt untersucht.
