Sicherung und Vertiefung
Die Umkehrfunktion zur e-Funktion
Die e-Funktion $exp$ ordnet einer reellen Zahl $x$ die Potenz $e^x$ zu. Die umgekehrte Zuordnung bildet die Umkehrfunktion zur e-Funktion.
Zum Herunterladen: efunktion4.ggb
Im Applet ist (violett eingefärbt) der Graph der e-Funktion zu sehen. Zusätzlich ist hier der Graph die Umkehrfunktion zur e-Funktion (gelb eingefärbt) dargestellt. Diese Funktion erhält ebenfalls einen eigenen Namen.
ln-Funktion
Die ln-Funktion ist die Umkehrfunktion zur e-Funktion $exp: x \rightarrow e^x$.
Aufgabe 1
Erkläre anhand des Applets die Eigenschaften der ln-Funktion.
- Die ln-Funktion ordnet jeder positiven reellen Zahl $y$ die Zahl $x$ zu mit $e^x = y$.
- Die ln-Funktion ist somit die Logarithmusfunktion $log_e$ zur Basis $e$.
- Der Graph der ln-Funktion entsteht aus dem Graph der e-Funktion durch eine Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden.
Aufgabe 2
Wir wollen genauer untersuchen, was es bedeutet, dass die ln-Funktion die Umkehrfunktion der e-Funktion darstellt.
(a) Ergänze die Aussagen im folgenden Satz.
e-Funktion und ln-Funktion
Für alle reellen Zahlen $x$ gilt:
$\ln\left(e^x\right) = \dots$.
Für alle positiven reellen Zahlen $y$ gilt:
$e^{\ln(y)} = \dots$.
(b) Vervollständige die folgenden Zusammenhänge:
- Weil $exp(1) = e^1 = e$, gilt $ln(...) = ...$
- Die e-Funktion hat einen $y$-Achsenabschnitt von $1$. Das bewirkt bei der ln-Funktion ...
- Wenn der Punkt $Q(x|y)$ auf dem Graph der ln-Funktion liegt, dann liegt der Punkt P(...|...) auf dem Graph der e-Funktion.
(c) Notiere dir die Definition (über Aufgabe 1) und den Satz (Aufgabe 2a) in deine Mitschrift.
Eine Ableitungsfunktion der ln-Funktion
Aufgabe 3
Mit dem folgenden Applet kannst du die ln-Funktion grafisch ableiten.
Bewege hierzu die Punkte im unteren Fenster so, dass die Tangentenschnipsel im oberen Fenster sich möglichst gut an den Graph der ln-Funktion anschmiegen
.
Klicke anschließend das Kontrollkästchen an, es erscheint ein Eingabefeld.
Gib in dieses Eingabefeld den vermuteten Funktionsterm der Ableitungsfunktion zur ln-Funktion ein.
Zum Herunterladen: grafischableiten_ln_funktion.ggb
Aufgabe 4 (für Experten)
Beweise die Formel für die Ableitungsfunktion aus Aufgabe 3. Benutze hierzu das folgende Applet. Im Applet kann man nach und nach Information einblenden. Deine Aufgabe ist es, eine schlüssige Argumentationskette für die Formel der Ableitung $\ln'(x)$ zu entwickeln.
Zum Herunterladen: efunktion6.ggb
