Vertiefung
Zur Orientierung
Hier geht es weiterhin um die Klärung folgender Problemstellung.
Problem
Geg.: e-Funktionen mit Parametern vom Typ $g(x) = a \cdot e^{k \cdot x}$
Ges.: Ableitungsfunktion $g'(x)$
Eine Ableitungsregel herleiten
Wir betrachten vorerst nur den Fall $a = 1$.
Aufgabe 1
(a) Experimentiere kurz mit dem Applet unter der Aufgabe. Beachte dabei die Anleitung. Verstehst du, wie das Applet helfen kann, das Problem von oben zu lösen?
(b) Mithilfe des Applets wird folgender Zusammenhang verdeutlicht: $g'(\frac{x_0}{k}) = k \cdot f'(x_0)$. Erläutere das anhand von Beispielen.
(c) Erkläre den Zusammenhang $g'(\frac{x_0}{k}) = k \cdot f'(x_0)$ mit Hilfe von Streckungseigenschaften: Graph $g$ entsteht aus Graph $f$ durch eine Streckung .... Für die Steigungsdreiecke bedeutet das ... . Hieraus ergibt sich ... .
Anleitung für das Applet
- Das Applet zeigt den Graph der e-Funktion $g(x) = e^{x}$ (purpur dargestellt) und den Graph einer e-Funktion $g(x) = e^{k \cdot x}$ mit einem Wachstumsfaktor $k$ (schwarz dargestellt).
- Den Punkt $P$ kann man mit Hilfe der dreiecksförmigen Markierung auf der $x$-Achse auf Graph $f$ hin und her bewegen. Der Punkt $Q$ auf Graph $g$ wird dann so gewählt, dass er den gleichen $y$-Wert wie der Punkt $P$ hat.
- Im Applet sind auch die Tangenten an Graph $f$ durch $P$ und an Graph $g$ durch $Q$ mit ihren Steigungen dargestellt. Um die Steigungen – und damit die zugehörigen Ableitungen – gut ablesen zu können, kann man die Steigungsdreiecke mit den Hilfspunkten $T_0$ und $T_1$ verschieben.
Zum Herunterladen: ableitung_allgemeine_efunktion_2.ggb
Aufgabe 2
(a) Begründe: Aus $g'(\frac{x_0}{k}) = k \cdot f'(x_0)$ folgt $g'(0) = k \cdot f'(0)$.
(b) Da die e-Funktion $g(x) = e^{k \cdot x}$ eine Exponentialfunktion ist, gilt für sie $g'(x) = c \cdot e^{k \cdot x}$ mit $c = g'(0)$. Folgere hieraus $g'(x) = k \cdot e^{k \cdot x}$.
Aufgabe 3
Formuliere die hergeleitete Regel.
Ableitung einer e-Funktion mit Parametern
Für e-Funktionen mit Parametern vom Typ $g(x) = e^{k \cdot x}$ gilt ...
Aufgabe 4
Betrachte jetzt e-Funktionen mit Parametern vom Typ $g(x) = a \cdot e^{k \cdot x}$, z.B $g(x) = 1.5 \cdot e^{0.5 \cdot x} = 1.5 \cdot {\left(e^{0.5}\right)}^x$. Ermittle mithilfe der Faktorregel auch die Ableitungsregel für diese Funktionen.
Ableitung einer e-Funktion mit Parametern
Für e-Funktionen mit Parametern vom Typ $g(x) = e^{k \cdot x}$ gilt ...
