Vertiefung

Zur Orientierung

Hier geht es weiterhin um die Klärung folgender Problemstellung.

Eine Ableitungsregel herleiten

Wir betrachten vorerst nur den Fall $a=1$.

Aufgabe 1

(a) Experimentiere kurz mit dem Applet unter der Aufgabe. Beachte dabei die Anleitung. Verstehst du, wie das Applet helfen kann, das Problem von oben zu lösen?

(b) Erkläre, wie der schwarze Graph durch eine Streckung aus dem purpur Graphen hervorgeht. Erkläre, was das für das Steigungsdreieck der beiden Tangenten bedeutet. Betrachte dafür sowohl die Auswirkung auf die Breite des Dreiecks ($\mathrm{\Delta }x$) als auch auf die Höhe des Dreiecks ($\mathrm{\Delta }y$).

(c) Erkläre, was du dadurch über die Steigung $g^{\prime }(0)$ folgern kannst. Wie hängt sie mit der Steigung $f^{\prime }(0)$ zusammen?

Anleitung für das Applet

• Das Applet zeigt den Graph der e-Funktion $g(x)=e^x$ (purpur dargestellt) und den Graph einer e-Funktion $g(x)=e^{k\cdot x}$ mit einem Wachstumsfaktor $k$ (schwarz dargestellt).
• Im Applet sind auch die Tangenten an die beiden Graphen durch den Punkt $(0|1)$ mitsamt ihrer Steigungen dargestellt.

Zum Herunterladen: ableitung_allgemeine_efunktion_3.ggb

Aufgabe 2

(a) Begründe folgenden Zusammenhang, den wir bereits kennen: Es gilt $g^{\prime }(x)=c\cdot e^{k\cdot x}$ mit $c=g^{\prime }(0)$.

(b) Folgere hieraus $g^{\prime }(x)=k\cdot e^{k\cdot x}$.

Aufgabe 3

Formuliere die hergeleitete Regel.

Aufgabe 4

Betrachte jetzt e-Funktionen mit Parametern vom Typ $g(x)=a\cdot e^{k\cdot x}$, z.B $g(x)=1.5\cdot e^{0.5\cdot x}=1.5\cdot {\left(e^{0.5}\right)}^x$. Ermittle mithilfe der Faktorregel auch die Ableitungsregel für diese Funktionen.