Einstieg
Das Ziel klären, das benötigte Wissen reaktivieren
Ziel ist es in diesem Kapitel, eine Regel zum Ableiten von e-Funktionen mit Parametern zu entwickeln.
Problem
Geg.: e-Funktionen mit Parametern vom Typ $g(x) = a \cdot e^{k \cdot x}$
Ges.: Ableitungsfunktion $g'(x)$
Wir werden dabei folgende Zusammenhänge verwenden.
e-Funktionen mit Parametern sind Exponentialfunktionen:
Jede e-Funktion vom Typ $g(x) = e^{k \cdot x}$ ist eine Exponentialfunktion vom Typ $f(x) = b^x$. Es gilt:
$g(x) = e^{k \cdot x} = {\left(e^{k}\right)}^x = b^x$ mit $b = e^k$.
Die Ableitungen von Exponentialfunktionen sind wieder Exponentialfunktionen:
Wenn man eine Exponentialfunktion $f$ mit $f(x) = b^x$ ableitet, erhält man eine Exponentialfunktion mit derselben Basis:
$f'(x) = c \cdot b^x$, wobei $c$ eine reelle Zahl ist mit $c = f'(0)$ (d.h., die Zahl $c$ beschreibt die Steigung von Graph $f$ an der Stelle $0$).
Aufgabe 1
Erkläre, dass man aus diesen Zusammenhängen direkt folgende Schlussfolgerung ziehen kann:
Für $g(x) = e^{k \cdot x}$ gilt $g'(x) = c \cdot e^{k \cdot x}$ mit einer reellen Zahl $c$.
Unklar ist nur noch, wie man die Zahl $c$ schnell erhält.
