Vertiefung

Zur Orientierung

Wir ändern die Leitfrage hier etwas ab:

Zusammenhänge kombinieren

Aufgabe 1

(a) Betrachte einen exponentiellen Wachstumsprozess mit dem Wachstumsfaktor $1.5$ zur Schrittweite $1$ und einem beliebigen Anfangswert $a$. Beschreibe diesen Wachstumsprozess zunächst mit einer e-Funktion vom Typ $g(t) = a \cdot e^{k \cdot t}$. Bestimme anschließend die Verdopplungszeit $t_D$.

(b) Betrachte einen exponentiellen Wachstumsprozess mit der prozentualen Wachstumsrate $2 \%$ zur Schrittweite $1$ und einem beliebigen Anfangswert $a$. Beschreibe diesen Wachstumsprozess zunächst mit einer e-Funktion vom Typ $g(t) = a \cdot e^{k \cdot t}$. Bestimme anschließend die Verdopplungszeit $t_D$.

Aufgabe 2

(a) Betrachte einen beliebigen exponentiellen Wachstumsprozess mit dem Wachstumsfaktor $b$ zur Schrittweite $1$ und einem beliebigen Anfangswert $a$. Leite folgende Formel für die Verdopplungszeit $t_D$ her.

$t_D = \displaystyle{\frac{\ln(2)}{\ln(b)}}$

(b) Betrachte einen exponentiellen Wachstumsprozess mit der prozentualen Wachstumsrate $p \%$ zur Schrittweite $1$ und einem beliebigen Anfangswert $a$. Leite folgende Formel für die Verdopplungszeit $t_D$ her.

$t_D = \displaystyle{\frac{\ln(2)}{\ln(1+p/100)}}$

Aufgabe 3

(a) Wenn die prozentuale Wachstumsrate $p$ kleiner als $10$ ist, dann kann man folgende Näherung verwenden: $\displaystyle{\ln(1+\frac{p}{100}) \approx \frac{p}{100}}$. Nutze diesen Zusammhang, um die Faustformel $p \cdot t_D \approx 69$ (für kleine $p$-Werte) herzuleiten.

(b) Bestimme die Verdopplungszeiten bei exponentiellen Wachstumsprozessen mit der Faustformel $p \cdot t_D \approx 69$.

prozentuale Wachstumsrate	Verdopplungszeit
$5 \%$
$1 \%$
$7 \%$
$1.4 \%$

(c) Erläutere den Nutzen der Faustformel, wenn man sich einen Überblick über einen exponentiellen Wachstumsprozess verschaffen möchte.