Erarbeitung
Zur Orientierung
Hier geht es um die Klärung folgender Problemstellung.
Problem
Geg.: e-Funktionen mit Parametern vom Typ $g(x) = a \cdot e^{k \cdot x}$
Ges.: Ableitungsfunktion $g'(x)$
Eine Ableitungsregel experimentell bestimmen
Wir betrachten vorerst nur den Fall $a = 1$.
Mit dem folgenden Applet kannst du die Leitfragen experimentell klären.
Anleitung für das Applet
- Im Eingabefeld wird die betrachtete Funktiongleichung eingegeben. Gib hier e-Funktionen der Gestalt $g(x) = e^{k \cdot x}$ in der Form $g(x) = {\left(e^{k}\right)}^x$ ein.
- Im Applet werden für die drei ausgewählten Punkte (rot markiert) die Ableitungen mit Hilfe von Tangentenschnipsel angezeigt. Die Ableitungswerte werden zusätzlich mit Hilfe von Punkte (grün markiert) dargestellt.
- Die Punkte zur Darstellung der Ableitungen liegen auf einer Kontrolllinie (grün gestrichelt).
- Mit Hilfe des Schiebereglers soll man die Zahl $c$ so einstellen, dass der blau dargestellte Graph die Ableitungsfunktion beschreibt. Hierzu muss dieser Graph durch die Ableitungspunkte verlaufen bzw. mit der gestrichelten Kontrolllinie übereinstimmen.
Zum Herunterladen: ableitung_allgemeine_efunktion_1b.ggb
Aufgabe 1
Im Applet ist die e-Funktion $g(x) = e^{0.5 \cdot x} = {\left(e^{0.5}\right)}^x$ voreingestellt. Bestimme experimentell $g'(x)$. Bestimme analog die Ableitungsfunktion $g'(x)$ für $g(x) = e^{2 \cdot x}$ und $g(x) = e^{-0.5 \cdot x}$. Was fällt auf?
Aufgabe 2
Formuliere die experimentell gefundene Regel.
Für e-Funktionen mit Parametern vom Typ $g(x) = e^{k \cdot x}$ gilt ...
Aufgabe 3
Betrachte jetzt e-Funktionen mit Parametern vom Typ $g(x) = a \cdot e^{k \cdot x}$, z.B $g(x) = 1.5 \cdot e^{0.5 \cdot x} = 1.5 \cdot {\left(e^{0.5}\right)}^x$. Ermittle mit Hilfe des Applets auch die Ableitungsregel für diese Funktionen.
Für e-Funktionen mit Parametern vom Typ $g(x) = a \cdot e^{k \cdot x}$ gilt ...
