Vertiefung - algebraisch-analytisches Vorgehen

Ableitungen mit Grenzwerten bestimmen

Die Ableitung einer Funktion an einer Stelle $x$ erhält man, indem man den Grenzwert von lokalen Änderungsraten (bzw. von Sekantensteigungen) bestimmt.

Wenn man im nächsten Applet den Punkt $Q$ auf denm Punkt $P$ zu bewegt, erhält man immer bessere Näherungswerte für die Ableitung der vorgegebenen Funktion an der durch $P$ festgelegten Stelle $x$.

Anleitung für das Applet

• Im Eingabefeld links oben kann man die Funktionsgleichung der zu untersuchenden Exponentialfunktion eingeben. Betrachte zunächst die voreingestellte Exponentialfunktion $f(x) = 2^x$.
• Im Eingabefeld für $x$ gibt man den betrachteten $x$-Wert vor. Dieser $x$-Wert legt den (rot eingefärbten) Punkt $P$ auf dem Funktionsgraphen fest. Ziel ist es, die Steigungen des Funktionsgraphen in diesem Punkt abzuschätzen.
• Mit dem Punkt $Q$ auf dem Funktionsgraphen wird eine Sekante durch $P$ und $Q$ festgelegt. Die Steigung dieser Sekante wird im oberen Fenster angezeigt.
• Den Punkt $Q$ kann man auf dem Funktionsgraphen bewegen. Wenn man ihn zum Punkt $P$ hinbewegt, dann liefert die zugehörige Sekantensteigung immer besserer Näherungswerte für die Steigung des Funktionsgraphen im Punkt $P$ und damit für die gesuchte Ableitung $f'(x)$.
• Im Grenzfall $Q$ auf $P$ gibt es keine Sekante mehr. Stattdessen wird in diesem Fall die Tangente an Graph $f$ durch den Punkt $P$ angezeigt. Im oberen Fenster wird die Steigung der Tangente als Grenzwert der approximierenden Sekantensteigungen angezeigt.

Zum Herunterladen: ableitung_exponentialfunktionen_approx.ggb

Aufgabe 1

Nutze das Applet, um Ableitungswerte für die im Applet vorgegebene Exponentialfunktion $f(x) = 2^x$ zu bestimmen. Gib jeweils den passenden $x$-Wert vor und bestimme den zugehörigen Ableitungswert.

$x$	$f'(x)$ [abgeschätzte Grenzwerte]
$-1$
$0$	$0.69315$
$1$
$2$

Eine Formel für die Ableitungsfunktion einer Exponentialfunktion herleiten

Wir gehen hier exemplarisch vor und betrachten stellvertretend die Exponentialfunktion $f(x) = 2^x$.

Aufgabe 2 – $m(x,x+h)$ umformen

In einem 1. Schritt wird die Formel für die mittlere Änderungsrate (bzw. die Sekantensteigung) $m(x,x+h)$ umgeformt. Ergänze die Umformungsschritte.

$\begin{array}{lcl} m(x, x+h) & = & \displaystyle{\frac{f(x+h) - f(x)}{h}} \\ & = & \dots \\ & = & \dots \\ & = & \dots \\ & = & 2^x \cdot \displaystyle{\frac{(2^h - 1)}{h}} \end{array}$

Kontrolle

$\begin{array}{lcl} m(x, x+h) & = & \displaystyle{\frac{f(x+h) - f(x)}{h}} \\ & = & \displaystyle{\frac{2^{x+h} - 2^x}{h}} \\ & = & \displaystyle{\frac{2^x \cdot 2^h - 2^x}{h}} \\ & = & \displaystyle{\frac{2^x \cdot (2^h - 1)}{h}} \\ & = & 2^x \cdot \displaystyle{\frac{(2^h - 1)}{h}} \end{array}$

Aufgabe 3 – den Grenzprozess $h \rightarrow 0$ durchführen

In einem 2. Schritt wird der Grenzprozess $h \rightarrow 0$ durchgeführt. Betrachte zunächst den Teilterm $\displaystyle{\frac{(2^h - 1)}{h}}$.

(a) Benutze das Applet, um den Grenzwert dieses Teilterms für $h \rightarrow 0$ abzuschätzen. Mit dem Schieberegler kannst du $h$ gegen $0$ bewegen.

Zum Herunterladen: grenzwert_c_0.ggb

(b) Betrachte jetzt den gesamten Term $2^x \cdot \displaystyle{\frac{(2^h - 1)}{h}}$. Begründe:

$f'(x) = c \cdot 2^x$ mit $c \approx 0.69$

Aufgabe 4 – weitere Exponentialfunktionen betrachten

(a) Betrachte jetzt die Exponentialfunktion $f(x) = 3^x$ und $f(x) = 0.5^x$. Bestimme analog Formeln für $f'(x)$ für diese Exponentialfunktionen.

(b) Betrachte die Exponentialfunktion $f(x) = a \cdot 2^x$ (mit einer beliebigen reellen Zahl $a$). Begründe, dass $f'(x) = a \cdot c \cdot 2^x$ mit $c \approx 0.69$.

Aufgabe 5 – die Ergebnisse verallgemeinern

Verallgemeinere die Ergebnisse und formuliere sie als Sätze.