Übungen - Ableitung von Exponentialfunktionen

Aufgabe 1 - Ableitungen geometrisch abschätzen

Benutze das Applet, um geometrisch die gesuchten Ableitungswerte zu bestimmen.

geg.	ges.
$f(x) = 2.5^x$	$f'(0) \approx \dots$
$f(x) = 1.5^x$	$f'(1) \approx \dots$
$f(x) = 0.5^x$	$f'(-1) \approx \dots$
$f(x) = 0.8^x$	$f'(0.5) \approx \dots$

Anleitung für das Applet

• Im Eingabefeld links oben kann man die Funktionsgleichung der zu untersuchenden Exponentialfunktion eingeben.
• Die $x$-Werte legen (rot eingefärbte) Punkte auf dem Funktionsgraphen fest. Man kann die $x$-Werte durch ein Verschieben der rot eingefärbten Punkte verändern.
• Zur Abschätzung der Steigungen des Funktionsgraphen in den vorgegebenen Punkten dienen die Tangentenschnipsel. Ihre Länge kann man mit dem entsprechenden Schieberegler einstellen. Für eine übersichtliche Darstellung sind kurze Längen geeignet. Für die Ausrichtung der Tangenten sollte man eine größere Länge wählen.
• Die Tangentenschnipsel sind drehbar. Man kann so die Steigung der Tangenten so einstellen, dass sie genau mit den Steigungen des Funktionsgraphen in diesen Punkten übereinstimmen. Versuche nach Augenmaß, die Tangenten passend zum Funktionsgraphen auzurichten. Du erhältst dann Näherungswerte für die Ableitungen an den betrachteten Stellen.
• Die Tangentensteigungen werden jeweils mit $m = \dots$ angezeigt und zusätzlich mit entsprechenden (grün eingefärbten) Punkten im Koordinatensystem dargestellt.
• Zur Kontrolle der Tangentensteigungen kann man einen Kontrollgraph einblenden. Die grün eingefärbten Punkte sollten optimalerweise auf diesem Kontrollgraph liegen. Nutze diese Kontrolle aber erst, nachdem du alle Tangentensteigungen eingestellt hast.

Zum Herunterladen: ableitung_exponentialfunktionen_exp_1.ggb
Das Applet basiert auf dem Applet Ableitung mit Geradenstücken. [1]

Aufgabe 2 - Ableitungen geometrisch abschätzen

Benutze das Applet, um (abgeschätzte) Formeln für die vorgegebenen Exponentialfunktionen geometrisch-experimentell zu bestimmen. Was fällt hier auf?

Exponentialfunktion $f(x)$	zugehörige Ableitungsfunktion [abgeschätzt] $f'(x)$
$f(x) = 2^x$	$f'(x) = 0.69 \cdot 2^x$
$f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x$
$f(x) = \left(\frac{3}{2}\right)^x$
$f(x) = \left(\frac{2}{3}\right)^x$

Zum Herunterladen: ableitung_exponentialfunktionen_exp_3.ggb Das Applet basiert auf dem Applet Ableitung mit Geradenstücken. [2]

Aufgabe 3 - Ableitungen algebraisch-analytisch bestimmen

Betrachte eine beliebige Exponentialfunktion $f(x) = a \cdot b^x$.

(a) Ergänze die Umformungsschritte in der Herleitung einer möglichst einfachen Formel für die mittlere Änderungsrate (bzw. die Sekantensteigung) $m(x,x+h)$.

$\begin{array}{lcl} m(x, x+h) & = & \displaystyle{\frac{f(x+h) - f(x)}{h}} \\ & = & \dots \\ & = & \dots \\ & = & \dots \\ & = & a \cdot b^x \cdot \displaystyle{\frac{(b^h - 1)}{h}} \end{array}$

(b) Begründe mit dieser Formel:

$f'(x) = a \cdot c \cdot b^x$, wobei $c = \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\displaystyle{\frac{b^h - 1}{h}}}$.

Aufgabe 4 - Wachstumsgeschwindigkeiten bestimmen

Wir betrachten den radioaktiven Zerfall von Jod-131. Wir gehen dabei von einer Halbwertszeit von ca. 8 Tagen aus. Wenn die betrachtete Stoffmenge zu Beginn aus $N$ radioaktiven Atomen besteht, dann lässt sich die radioaktive Entwicklung dieser Stoffmenge mit folgender Exponentialfunktion beschreiben. Die Variable $x$ beschreibt dabei die Anzahl Tage vom Beobachtungsbeginn aus.

$f(x) = N \cdot \left(0.5^{1/8}\right)^x \approx N \cdot 0.917^x$

(a) Bestimme die Ableitungsfunktion $f'(x)$. Zur Kontrolle: $\lim\limits_{h \rightarrow 0}{\displaystyle{\frac{0.917^h - 1}{h}}} \approx -0.09$

(b) Bestimme mit Hilfe von $f'(x)$ die momentane Zerfallsrate pro Tag (bzw. pro Sekunde) zum Beobachtungsbeginn.

(c) In welchem Zeitabstand halbiert sich die momentane Zerfallsrate? Begründe kurz.