Vertiefung - Ableitungsfunktionen benutzen
Zur Orientierung
Wir beschäftigen uns weiterhin mit folgender Frage:
Leitfrage
Wie bestimmt man momentane Wachstumsgeschwindigkeiten bei exponentiellen Prozessen?
Hier betrachten wir jetzt das Bevölkerungswachstum in Akfrika.
Eine Bevölkerungsuhr simulieren
Anleitung für das Applet
- Das Applet verdeutlicht die Bevölkerungsentwicklung in Afrika ab dem Jahr 2020 mit Hilfe einer Exponentialfuntion. Die Funktionsgleichung der Exponentialfunktion ist im Eingabefeld vorgegeben.
- Die schwarze Markierung auf der $x$-Achse kann man im Bereich von $0$ bis $50$ verschieben.
- Am Funktionsgraph werden dann jeweils der aktuelle Bevölkerungsstand sowie die aktuelle Wachstumsgeschwindigkeit angezeigt.
- Zusätzlich zur Bevölkerungsentwicklung im oberen Fenster wird im unteren Fenster die Entwicklung der momentanen Wachstumsgeschwindigkeit angezeigt. Wenn man die schwarze Markierung auf der $x$-Achse im oberen Fenster hin und her bewegt, werden im unteren Fenster die jeweiligen momentanen Wachstumsgeschwindigkeiten mit Punkten im Koordinatensystem dargestellt.
- Mit dem Schieberegler $c$ kann man den Anfangswert der Exponentialfunktion $g$ festlegen.
Zum Herunterladen: bevoelkerungswachstum_afrika2.ggb
Aufgabe 1
(a) Überprüfe auch hier mit Hilfe der Daten auf der Weltbevölkerungsuhr, ob die im Applet angezeigten Werte realistisch sind.
(b) Die Entwicklung der Bevölkerung in Afrika ist hier als exponentieller Prozess modelliert. Gib die Parameter dieses exponentiellen Prozesses an.
Aufgabe 2
Erzeuge zunächst Werte für die momentanen Wachstumsgeschwindigkeiten, indem du die schwarze Markierung auf der $x$-Achse im oberen Fenster hin und her bewegst. Stelle dann $c$ so ein, dass der Graph im unteren Fenster zu den angezeigten Wachstumsgeschwindigkeitswerten passt.
Aufgabe 3
Erläutere im vorliegenden Kontext die folgenden interessanten Zusammenhänge:
- Die momentane Wachstumsgeschwindigkeit beim exponentiellen Bevölkerungswachstum (in Afrika) wächst ebenfalls exponentiell – und das mit genau demselben Wachstumsfaktor wie beim Bevölkerungswachstum selbst (in Afrika). Die momentane Wachstumsgeschwindigkeit wächst demnach proportional zum aktuellen Bevölkerungsstand.
- Die Funktion zur Beschreibung der momentanen Wachstumsgeschwindigkeiten (in Afrika) ist die Ableitungsfunktion $f'(x)$ der Funktion $f(x)$ zur Beschreibung der Bevölkerungsentwicklung (in Afrika). Die Ableitungsfunktion $f'(x)$ zur Exponentialfunktion $f(x)$ ist ebenfalls eine Exponentialfunktion - mit genau derselben Basis. Es gilt $f'(x) = c \cdot f(x)$ mit einer Konstanten $c$.
