Erarbeitung - Wachstumsgeschwindigkeiten abschätzen

Zur Orientierung

Wir beschäftigen uns hier mit folgender Frage:

Hierzu untersuchen wir exemplarisch das Bevölkerungswachstum auf der Erde.

Eine Bevölkerungsuhr simulieren

Die Weltbevölkerung ist über eine längere Zeit nahezu exponentiell gewachsen. Wir betrachten hier den – eher unrealistischen – Fall, dass die Weltbevölkerung auch weiterhin über einen Zeitraum von 50 Jahren exponentiell wächst. Realistischere Modellierungen der Weltbevölkerungsentwickklung werden wir in einem anderen Kapitel betrachten.

Anleitung für das Applet

• Das Applet verdeutlicht die Entwicklung der Weltbevölkerung ab dem Jahr 2020 mit Hilfe einer Exponentialfuntion. Die Funktionsgleichung der Exponentialfunktion ist im Eingabefeld vorgegeben.
• Die schwarze Markierung auf der $x$-Achse kann man im Bereich von $0$ bis $50$ verschieben.
• Am Funktionsgraph werden dann jeweils der aktuelle Bevölkerungsstand sowie die aktuelle Wachstumsgeschwindigkeit angezeigt.

Zum Herunterladen: bevoelkerungswachstum_welt.ggb

Aufgabe 1

(a) Überprüfe mit Hilfe der Daten auf der Weltbevölkerungsuhr, ob die im Applet angezeigten Werte realistisch sind.

(b) Begründe: Die Entwicklung der Weltbevölkerung ist hier als exponentieller Prozess mit dem Anfangswert $7.84$ Milliarden (für das Jahr 2020) und einer jährlichen prozentualen Wachstumsrate von $1 \%$ modelliert.

Aufgabe 2

Hier geht es um folgende Frage: Wie kommt man ausgehend von der Funktionsgleichung $f(x) = 7840000000 \cdot 1.01^x$ zur Beschreibung des Bevölkerungswachstums auf die jeweiligen Wachstumsgeschwindigkeiten?

Betrachte den Beginn des Jahres 2025. Die momentane Wachstumsgeschwindigkeit kann man mit dem Zuwachs pro Schrittweite abschätzen. Die Abschätzung ist umso besser, je kleiner die Schrittweite ist. Betrachte eine Schrittweite von $1$ Jahr und schätze mit dieser Schrittweite die momentane Wachstumsgeschwindigkeit (pro Jahr und heruntergerechnet auf eine Sekunde) ab. Vergleiche mit den Angaben im Applet.