Vertiefung

Zur Orientierung

Hier geht es weiterhin um die Klärung folgender Problemstellung.

Eine Ableitungsregel herleiten

Wir betrachten vorerst nur den Fall $a=1$.

Mit dem folgenden Applet kannst du erste wichtige Zusammenhänge erschließen.

Anleitung für das Applet

• Das Applet zeigt den Graph der e-Funktion $g(x)=e^x$ (purpur dargestellt) und den Graph einer e-Funktion $g(x)=e^{k\cdot x}$ mit einem Wachstumsfaktor $k$ (schwarz dargestellt).
• Den Punkt $P$ kann man mit Hilfe der dreieckförmigen Markierung auf der $x$-Achse auf Graph $f$ hin und her bewegen. Der Punkt $Q$ auf Graph $g$ wird dann so gewählt, dass er den gleichen $y$-Wert wie der Punkt $P$ hat.
• Im Applet sind auch die Tangenten an Graph $f$ durch $P$ und an Graph $g$ durch $Q$ mit ihren Steigungen dargestellt. Um die Steigungen – und damit die zugehörigen Ableitungen – gut ablesen zu können, kann man die Steigungsdreiecke mit den Hilfpunkten $T_0$ und $T_1$ verschieben.

Zum Herunterladen: ableitung_allgemeine_efunktion_2.ggb

Aufgabe 1

(a) Mit Hilfe des Applets wird folgender Zusammenhang verdeutlicht: $g^{\prime }(\frac{x_0}{k})=k\cdot f^{\prime }(x_0)$. Erläutere das anhand von Beispielen.

(b) Erkläre den Zusammenhang $g^{\prime }(\frac{x_0}{k})=k\cdot f^{\prime }(x_0)$ mit Hilfe von Streckungseigenschaften: Graph $g$ entsteht aus Graph $f$ durch eine Streckung .... Für die Steigungsdreiecke bedeutet das ... . Hieraus ergibt sich ... .

Aufgabe 2

(a) Begründe: Aus $g^{\prime }(\frac{x_0}{k})=k\cdot f^{\prime }(x_0)$ folgt $g^{\prime }(0)=k\cdot f^{\prime }(0)$.

(b) Da die e-Funktion $g(x)=e^{k\cdot x}$ eine Exponentialfunktion ist, gilt für sie $g^{\prime }(x)=c\cdot e^{k\cdot x}$ mit $c=g^{\prime }(0)$. Folgere hieraus $g^{\prime }(x)=k\cdot e^{k\cdot x}$.

Aufgabe 3

Formuliere die hergeleitete Regel.

Aufgabe 4

Betrachte jetzt e-Funktionen mit Parametern vom Typ $g(x)=a\cdot e^{k\cdot x}$, z.B $g(x)=1.5\cdot e^{0.5\cdot x}=1.5\cdot {\left(e^{0.5}\right)}^x$. Ermittle mit Hilfe Faktorregel auch die Ableitungsregel für diese Funktionen.