Vertiefung

Zur Orientierung

Hier geht es weiterhin um die Klärung folgender Problemstellung.

Eine Ableitungsregel herleiten

Wir betrachten vorerst nur den Fall $a = 1$.

Mit dem folgenden Applet kannst du erste wichtige Zusammenhänge erschließen.

Anleitung für das Applet

• Das Applet zeigt den Graph der e-Funktion $g(x) = e^{x}$ (purpur dargestellt) und den Graph einer e-Funktion $g(x) = e^{k \cdot x}$ mit einem Wachstumsfaktor $k$ (schwarz dargestellt).
• Den Punkt $P$ kann man mit Hilfe der dreieckförmigen Markierung auf der $x$-Achse auf Graph $f$ hin und her bewegen. Der Punkt $Q$ auf Graph $g$ wird dann so gewählt, dass er den gleichen $y$-Wert wie der Punkt $P$ hat.
• Im Applet sind auch die Tangenten an Graph $f$ durch $P$ und an Graph $g$ durch $Q$ mit ihren Steigungen dargestellt. Um die Steigungen – und damit die zugehörigen Ableitungen – gut ablesen zu können, kann man die Steigungsdreiecke mit den Hilfpunkten $T_0$ und $T_1$ verschieben.

Zum Herunterladen: ableitung_allgemeine_efunktion_2.ggb

Aufgabe 1

(a) Mit Hilfe des Applets wird folgender Zusammenhang verdeutlicht: $g'(\frac{x_0}{k}) = k \cdot f'(x_0)$. Erläutere das anhand von Beispielen.

(b) Erkläre den Zusammenhang $g'(\frac{x_0}{k}) = k \cdot f'(x_0)$ mit Hilfe von Streckungseigenschaften: Graph $g$ entsteht aus Graph $f$ durch eine Streckung .... Für die Steigungsdreiecke bedeutet das ... . Hieraus ergibt sich ... .

Aufgabe 2

(a) Begründe: Aus $g'(\frac{x_0}{k}) = k \cdot f'(x_0)$ folgt $g'(0) = k \cdot f'(0)$.

(b) Da die e-Funktion $g(x) = e^{k \cdot x}$ eine Exponentialfunktion ist, gilt für sie $g'(x) = c \cdot e^{k \cdot x}$ mit $c = g'(0)$. Folgere hieraus $g'(x) = k \cdot e^{k \cdot x}$.

Aufgabe 3

Formuliere die hergeleitete Regel.

Aufgabe 4

Betrachte jetzt e-Funktionen mit Parametern vom Typ $g(x) = a \cdot e^{k \cdot x}$, z.B $g(x) = 1.5 \cdot e^{0.5 \cdot x} = 1.5 \cdot {\left(e^{0.5}\right)}^x$. Ermittle mit Hilfe Faktorregel auch die Ableitungsregel für diese Funktionen.