Erarbeitung
Zur Orientierung
Wir betrachten hier exponentielle Zerfallsprozesse, die mit einer e-Funktion vom Typ $g(t) = a \cdot e^{k \cdot t}$ beschrieben werden. Die Zerfallskonstante $k$ ist bei solchen Prozessen eine negative Zahl. Folgende Leitfrage soll hier geklärt werden:
Leitfrage
Wie kann man bei einem exponentiellen Zerfallsprozess aus einer vorgegebenen Beschreibung mit einer e-Funktion die Halbwertszeit bestimmen?
Die Leitfrage experimentell klären
Mit dem folgenden Applet kannst du die Leitfrage experimentell klären.
Zum Herunterladen: zuordnungexperimentell.ggb
Aufgabe 1
Betrachte folgende e-Funktionen zur Beschreibung exponentieller Zerfallsprozesse. Bestimme jeweils experimentell die Halbwertszeit $t_H$.
| Geg.: $g(t) = a \cdot e^{k \cdot t}$ |
Ges.: $t_H$ |
|---|---|
| $g(t) = 4 \cdot e^{-0.1 \cdot t}$ | |
| $g(t) = 2 \cdot e^{-0.2 \cdot t}$ | |
| $g(t) = 8 \cdot e^{-0.5 \cdot t}$ |
Die Leitfrage rechnerisch klären
Bearbeite die folgenden Aufgaben.
Aufgabe 2
Betrachte die Funktion $g(t) = 4 \cdot e^{-0.1 \cdot t}$ zur Beschreibung eines exponentiellen Wachstumsprozesses.
(a) Erkläre: Die Halbwertszeit $t_H$ erfüllt folgende Bedingung: $g(t_H) = \frac{1}{2} \cdot g(0)$ bzw. $4 \cdot e^{-0.1 \cdot t_H} = 2$.
(b) Löse die Gleichung $4 \cdot e^{-0.1 \cdot t_H} = 2$ nach $t_H$ auf.
(c) Kontrolliere das Ergebnis, indem du es mit dem experimentell bestimmten Ergebnis in Aufgabe 1 vergleichst.
Aufgabe 3
Betrachte eine beliebige Funktion $g(t) = a \cdot e^{k \cdot t}$ zur Beschreibung eines exponentiellen Wachstumsprozesses.
Die Halbwertszeit $t_H$ erfüllt folgende Bedingung: $g(t_H) = \frac{1}{2} \cdot g(0)$.
Stelle analog zum Vorgehen in Aufgabe 2 eine Gleichung auf und löse sie nach $t_H$ auf. Du erhältst dann eine Formel, mit der man die Halbwertszeit $t_H$ aus dem Zerfallskonstante $k$ berechnen kann.
