Erarbeitung
Zur Orientierung
Wir betrachten hier exponentielle Wachstumsprozesse, die mit einer e-Funktion vom Typ $g(t) = a \cdot e^{k \cdot t}$ beschrieben werden. Folgende Leitfrage soll hier geklärt werden:
Leitfrage
Wie kann man bei einem exponentiellen Wachstumsprozess aus einer vorgegebenen Beschreibung mit einer e-Funktion die Verdopplungszeit bestimmen?
Die Leitfrage experimentell klären
Mit dem folgenden Applet kannst du die Leitfrage experimentell klären.
Zum Herunterladen: zuordnungexperimentell.ggb
Aufgabe 1
Betrachte folgende e-Funktionen zur Beschreibung exponentieller Wachstumsprozesse. Bestimme jeweils experimentell die Verdopplungszeit $t_D$.
| Geg.: $g(t) = a \cdot e^{k \cdot t}$ |
Ges.: $t_D$ |
|---|---|
| $g(t) = 2 \cdot e^{0.1 \cdot t}$ | |
| $g(t) = 4 \cdot e^{0.2 \cdot t}$ | |
| $g(t) = 0.5 \cdot e^{0.5 \cdot t}$ |
Die Leitfrage rechnerisch klären
Bearbeite die folgenden Aufgaben.
Aufgabe 2
Betrachte die Funktion $g(t) = 2 \cdot e^{0.1 \cdot t}$ zur Beschreibung eines exponentiellen Wachstumsprozesses.
(a) Erkläre: Die Verdopplungszeit $t_D$ erfüllt folgende Bedingung: $g(t_D) = 2 \cdot g(0)$ bzw. $2 \cdot e^{0.1 \cdot t_D} = 4$.
(b) Löse die Gleichung $2 \cdot e^{0.1 \cdot t_D} = 4$ nach $t_D$ auf.
(c) Kontrolliere das Ergebnis, indem du es mit dem experimentell bestimmten Ergebnis in Aufgabe 1 vergleichst.
Aufgabe 3
Betrachte eine beliebige Funktion $g(t) = a \cdot e^{k \cdot t}$ zur Beschreibung eines exponentiellen Wachstumsprozesses.
Die Verdopplungszeit $t_D$ erfüllt folgende Bedingung: $g(t_D) = 2 \cdot g(0)$.
Stelle analog zum Vorgehen in Aufgabe 2 eine Gleichung auf und löäse sie nach $t_D$ auf. Du erhältst dann eine Formel, mit der man die Verdopplungszeit $t_D$ aus der Wachstumskonstante $k$ berechnen kann.
