o-mathe | e-Funktion mit Parametern » Übungen

Übungen - e-Funktionen mit Parametern

Aufgabe 1

Ergänze jeweils die entsprechende Exponential- bzw. e-Funktion.

$f(x) = a \cdot b^x$	$g(x) = a \cdot e^{k \cdot x}$
	$g(x) = e^{0.3x}$
$f(x) = 0.3^x$
	$g(x) = 2 \cdot e^{-2x}$
$f(x) = -3^x$
	$g(x) = 0.1 \cdot e^{0.1x}$
$f(x) = 0.2 \cdot 0.8^x$

Aufgabe 2

Bestimme jeweils die Ableitungsfunktion.

Ausgangsfunktion	Ableitungsfunktion
$g(x) = e^{0.3x}$
$f(x) = 0.3^x$
$g(x) = 2 \cdot e^{-2x}$
$f(x) = -3^x$
$g(x) = 0.1 \cdot e^{0.1x}$
$f(x) = 0.2 \cdot 0.8^x$

Aufgabe 3

Exponentielle Prozesse beschreibt man häufig mit Hilfe einer prozentualen Wachstums- oder Abnahmerate. Im Kapitel Exponentielle Prozesse wurde gezeigt, wie man solche Prozesse mit Exponentialfunktionen beschreibt.

(a) Untersuche, wie man (zumindest bei kleinen Wachstums- bzw. Abnahmeraten) direkt zu einer Beschreibung von exponentiellen Prozessen mit Hilfe von e-Funktionen gelangt. Ergänze hierzu die Beschreibungen in der Tabelle.

prozentuale Wachstums- bzw. Abnahmerate	e-Funktion zur Beschreibung des exponentiellen Prozesses
$+3 \%$	$g(x) = a \cdot 1.03^x = a \cdot e^{\ln(1.03) \cdot x} \approx a \cdot e^{0.03 \cdot x}$
$-1 \%$	$g(x) = a \cdot 0.99^x = a \cdot e^{\ln(0.99) \cdot x} \approx a \cdot e^{-0.01 \cdot x}$
$+5 \%$	$g(x) = \dots$
$-4 \%$	$g(x) = \dots$
$+0.5 \%$	$g(x) = \dots$
$-0.2 \%$	$g(x) = \dots$

(b) Die Umformungen in der Tabelle nutzen folgenden Zusammenhang: $\ln(1+x) \approx x$ für kleine $x$-Werte. Verdeutliche das anhand von Beispielen. Gib auch eine Grenze für kleine $x$-Werte an.

Aufgabe 4

Beschreibe die exponentiellen Prozesse mit e-Funktionen der Gestalt $g(x) = a \cdot e^{k \cdot x}$. Du kannst dabei die Ergebnisse der entsprechenden Aufgabe auf der Seite Übungen - Exponentielle Prozesse benutzen. Kläre anschießend die gestellte Frage.

(a) Ein Geldbetrag von $1000 €$ wird jährlich mit $3 \%$ verzinst. Wann überschreitet der Geldbetrag die Granze $2000 €$?

(b) Eine Bakterienkultur mit anfangs $200$ Bakterien verachtfacht sich jede Stunde. Wann überschreitet die Bakterienkultur die kritische Marke von $1000000$ Bakterien?

(c) Eine Bevölkerung von $2$ Millionen verringert sich jährlich um $1.5 \%$. Wie lange dauert es, bis die Bevölkerung nur noch eine Größe von $1.8$ Millionen hat?

(d) Eine Tasse Kaffee enthält 90 mg Koffein. Koffein wird im Körper wieder abgebaut. Der Koffeingehalt im Körper halbiert sich alle 4 Stunden. Wann unterschreitet der Koffeingehalt im Körper die Grenze von 50 mg?

Aufgabe 5

Betrachte einen exponentiellen Prozess, der das Wachstum einer Population beschreibt. Man kennt für einen Startpunkt $t = 0$ die aktuelle Populationsgröße $g(0) = 800$ [Individuen] und die aktuelle Wachstumsgeschwindigkeit $g'(0) = 20$ [Individuen pro Tag]. Beschreibe den exponentiellen Prozess mit einer e-Funktion $g(t) = a \cdot e^{k \cdot t}$ mit Parametern. Kläre anschließend folgende Fragen;

(a) Wie groß ist die prozentuale Wachstumsrate des exponentiellen Prozesses?

(b) Wann erreicht die Population die Grenze von $10000$ Individuen?