Erarbeitung
Eine e-Funktion logarithmieren
Das Applet verdeutlicht einen interessanten Zusammenhang. Im unteren Fenster ist eine e-Funktion $g(x) = a \cdot e^{k \cdot x}$ mit den einstellbaren Parametern $a$ und $k$ dargestellt. Im oberen Fenster ist die Funktion $h(x) = \ln(g(x))$ grafisch dargestellt.
Zum Herunterladen: linearexponentiell2.ggb
Variiere die Parameter $a$ und $k$. Was fällt auf?
Logarithmengesetze bei der Argumentation benutzen
Für die $\ln$-Funktion gelten die üblichen Logarithmengesetze:
Logarithmengesetze
- $\ln(x \cdot y) = \ln(x) + \ln(y)$
- $\ln(\frac{x}{y} = \ln(x) - \ln(y)$
- $\ln(x^r) = r \cdot \ln(x)$
Aufgabe 1
Benutze die passenden Logarithmengesetze, um folgenden Zusammenhang herzuleiten und zu ergänzen.
Betrachte die e-Funktion $g(x) = a \cdot e^{k \cdot x}$. Die Funktion $h(x) = \ln(g(x))$ ist dann eine lineare Funktion mit $h(x) = m \cdot x + b$ mit der Steigung $m = \dots$ und dem $y$-Abschnitt $b = \dots$.
Eine lineare Funktion exponieren
Im folgenden Applet wird die umgekehrte Situation gezeigt. Im oberen Fenster ist eine lineare Funktion $f(x) = m\cdot x + b$ mit den einstellbaren Parametern $m$ und $b$ dargestellt. Im unteren Fenster ist die Funktion $g(x) = e^{f(x)}$ grafisch dargestellt.
Zum Herunterladen: linearexponentiell1.ggb
Variiere die Parameter $m$ und $b$ der linearen Funktion. Was fällt auf?
Potenzgesetze bei der Argumentation benutzen
Für die e-Funktion gelten die üblichen Potenzgesetze:
Potenzgesetze
- $e^{x+y} = e^x \cdot e^y$
- $e^{x-y} = \frac{e^x}{e^y}$
- $e^{x^y} = e^{x\cdot y}$
Aufgabe 2
Benutze die passenden Potenzgesetze, um folgenden Zusammenhang herzuleiten und zu ergänzen.
Betrachte eine lineare Funktion $f(x) = m\cdot x + b$. Die Funktion $g(x) = e^{f(x)}$ ist dann eine e-Funktion vom Typ $g(x) = a \cdot e^{k \cdot x}$ mit dem Anfangswert $a = \dots$ und der Wachstumskonstande $k = \dots$.
