Erarbeitung

Zur Orientierung

Wir betrachten die beiden folgenden Funktionstypen:

• Exponentialfunktionen der Gestalt $f(x)=a\cdot b^x$
  mit einer reellen Zahl $a$ und einer positiven reellen Zahl $b$ ungleich $1$.
• (Verallgemeinerte) e-Funktionen der Gestalt $g(x)=a\cdot e^{k\cdot x}$
  mit einer reellen Zahl $a$ und einer reellen Zahl $k$ ungleich $0$

Zu klären sind folgende Fragen:

Die Leitfragen klären

Wir betrachten vorerst nur den Fall $a=1$.

Mit dem folgenden Applet kannst du die Leitfragen experimentell klären.

Zum Herunterladen: verschiedenedarstellungen1.ggb

Aufgabe 1

Hier geht es um folgende Fragestellung:

Geg.: e-Funktionen vom Typ $g(x)=e^{k\cdot x}$

Ges.: Exponentialfunktion vom Typ $f(x)=b^x$, so dass $f(x)=g(x)$ gilt

Stelle jeweils $b$ so ein, dass die Graphen von $f$ und $g$ (nahezu) übereinstimmen.

Geg.: $g(x)=e^{k\cdot x}$	Ges.: $f(x)=b^x$ mit $f(x)=g(x)$
$g(x)=e^{0.5\cdot x}$
$g(x)=e^{1.5\cdot x}$
$g(x)=e^{-0.5\cdot x}$

Aufgabe 2

Hier geht es um die umgekehrte Fragestellung:

Geg.: Exponentialfunktionen vom Typ $f(x)=b^x$

Ges.: e-Funktion vom Typ $g(x)=e^{k\cdot x}$, so dass $g(x)=f(x)$ gilt

Stelle jeweils $k$ so ein, dass die Graphen von $g$ und $f$ (nahezu) übereinstimmen.

Geg.: $f(x)=b^x$	Ges.: $g(x)=e^{k\cdot x}$ mit $g(x)=f(x)$
$f(x)=2^x$
$f(x)={1.5}^x$
$g(x)={0.5}^x$

Aufgabe 3

Formuliere ausgehend von den experimentellen Ergebnissen in Aufgabe 2 und Aufgabe 3 Vermutungen:

Vermutungen:

Jede e-Funktion vom Typ $g(x)=e^{k\cdot x}$ ...

Jede Exponentialfunktion vom Typ $f(x)=b^x$ ...

Aufgabe 4

In den Aufgaben 2 und 3 wurde jeweils der Anfangswert $a=1$ betrachtet. Warum kann man diese Einschränkungen aufheben, wenn die Vermutungen stimmen?