Zusammenfassung – Verdopplungs- und Halbwertszeit
Klärung der Begriffe
Die Verdopplungs- und Halbwertszeit sind wichtige Größen, die man zur Charakterisierung von exponentiellen Wachstums- und Zerfallsprozessen benutzt.
Die Verdopplungszeit $t_D$ ist die Zeit bei einem exponentiellen Wachstumsprozess, in der sich jeweils ein Bestandswert verdoppelt.
Wenn der Wachstumsprozess mit der Funktion $g(t) = a \cdot e^{k \cdot t}$ beschrieben wird, dann gilt $g(t + t_V) = 2 \cdot g(t)$ für alle Ausgangszeiten $t$. Das folgende Applet verdeutlicht diesen Zusammenhang. Den blau markierten Punkt kann man auf dem Graph der Funktion $g$ bewegen.
Zum Herunterladen: verdopplungszeit.ggb
Die Halbwertszeit $t_H$ ist analog hierzu die Zeit bei einem exponentiellen Zerfallsprozess, in der sich jeweils ein Bestandswert halbiert.
Wenn der Zerfallsprozess mit der Funktion $g(t) = a \cdot e^{k \cdot t}$ beschrieben wird, dann gilt $g(t + t_H) = \frac{1}{2} \cdot g(t)$ für alle Ausgangszeiten $t$. Das Applet folgende verdeutlicht diesen Zusammenhang. Den blau markierten Punkt kann man auf dem Graph der Funktion $g$ bewegen.
Zum Herunterladen: halbwertszeit.ggb
Bestimmung der Verdopplungszeit
Wir betrachten eine beliebige Funktion $g(t) = a \cdot e^{k \cdot t}$ zur Beschreibung eines exponentiellen Wachstumsprozesses. Beachte, dass $k$ dann eine positive Zahl ist.
Die Verdopplungszeit $t_D$ erfüllt die Bedingung $g(t_D) = 2 \cdot g(0)$.
Hieraus resultiert dann die folgende Gleichung, die nach $t_D$ aufgelöst wird.
$\begin{array}{lrll} a \cdot e^{k \cdot t_D} & = & 2a & | :a (\neq 0) \\ e^{k \cdot t_D} & = & 2 & | \ln \\ k \cdot t_D & = & \ln(2) & | :k (\neq 0) \\ t_D & = & \frac{\ln(2)}{k} \end{array}$
Verdopplungszeit bei exponentiellem Wachstum
Für die Verdopplungszeit eines exponentiellen Wachstumsprozesses, der mit der Funktion $g(t) = e^{k \cdot t}$ beschrieben wird, gilt folgender Zusammenhang.
$t_D = \frac{\ln(2)}{k}$
Beispiel
Für $g(x) = 2 e^{0.1 \cdot t}$ erhält man $t_D = \frac{\ln(2)}{0.1} \approx 6.93$.
Bestimmung der Halbwertszeit
Wir betrachten eine beliebige Funktion $g(t) = a \cdot e^{k \cdot t}$ zur Beschreibung eines exponentiellen Zerfallsprozesses. Beachte, dass $k$ dann eine negative Zahl ist.
Die Halbwertszeit $t_H$ erfüllt die Bedingung $g(t_H) = \frac{1}{2} \cdot g(0)$.
Hieraus resultiert dann die folgende Gleichung, die nach $t_H$ aufgelöst wird.
$\begin{array}{lrll} a \cdot e^{k \cdot t_H} & = & \frac{a}{2} & | :a (\neq 0) \\ e^{k \cdot t_H} & = & \frac{1}{2} & | \ln \\ k \cdot t_H & = & \ln(1/2) & | :k (\neq 0) \\ t_H & = & \frac{\ln(1/2)}{k} \end{array}$
Halbwertszeit bei exponentiellem Zerfall
Für die Halbwertszeit eines exponentiellen Zerfallssprozesses, der mit der Funktion $g(t) = e^{k \cdot t}$ beschrieben wird, gilt folgender Zusammenhang.
$t_H = \frac{\ln(1/2)}{k}$
Beispiel
Für $g(x) = 4 e^{-0.2 \cdot t}$ erhält man $t_H = \frac{\ln(1/2)}{-0.2} \approx 3.47$.
Die $p \cdot t_D$-Regel
In der Praxis beschreibt man einen exponentiellen Wachstumsprozess oft mit einer prozentualen Wachstumsrate von $p \%$.
Für die Wachstumskonstante gilt dann $k = ln(1+p/100)$.
Wenn $p$ klein
ist (die prozentuale Wachstumsrate sollte kleiner als $10 \%$ sein), dann gilt $k = ln(1+p/100) \approx p/100$.
Mit diesem Wert erhält man dann für die Verdopplungszeit:
$t_D = \frac{\ln(2)}{k} \approx \frac{\ln(2)}{p/100} = \frac{100 \cdot \ln(2)}{p} \approx \frac{69}{p}$
Mit einer Umformung ergibt sich dann die $p \cdot t_D$-Regel, mit der man $t_D$ direkt aus $p$ abschätzen kann, sofern $p$ klein
ist.
$p \cdot t_D \approx 69$
