Übungen - e-Funktion und ln-Funktion
Aufgabe 1
Das Applet zeigt den Graph der e-Funktion.
Zum Herunterladen: efunktion2.ggb
(a) Warum hat die Tangente an den Graph der e-Funktion im Punkt $P(0|1)$ die Steigung $1$? Begründe kurz.
(b) Welche Steigung hat die Tangente an den Graph der e-Funktion im Punkt $P(1|e)$? Kläre zunächst selbst diese Frage und überprüfe anschließend mit dem Applet.
(c) In welchem Punkt $P$ des Graphen hat die Tangente die Steigung $2$? Beschreibe den Punkt mit der ln-Funktion. Überprüfe mit dem Applet.
Aufgabe 2
Das Applet zeigt den Graph der e-Funktion und der ln-Funktion.
Zum Herunterladen: efunktion4.ggb
(a) Warum ist die ln-Funktion nur für positive reelle Zahlen definiert? Begründe kurz.
(b) Warum gilt $\ln(1) = 0$? Begründe kurz.
(c) Für welche reelle Zahl $x$ gilt $\ln\left(e^{x}\right) = -1$? Begründe kurz.
Aufgabe 3
Hier geht es um das Lösen von Exponentialgleichungen.
(a) Erläutere das Vorgehen im gezeigten Beispiel.
Beispiel
$\begin{array}{lrll} e^{2x} - 1 & = & 5 & | +1 \\ e^{2x} & = & 6 & | \ln \\ \underbrace{\ln(e^{2x})}_{2x} & = & \ln(6) & | :2 \\ x & = & \frac{\ln(6)}{2} \approx 0.9 \end{array}$
(b) Löse analog die folgenden Exponentialgleichungen.
(A) $e^{x-1} + 2 = 4$
(B) $3e^{x+1} = 12$
(C) $3e^{x} - 3 = 2e^{x}$
(c) Hier ist es schwieriger, zur Lösung zu gelangen. Tipp: $e^{x+1} = e^x \cdot e$.
(D) $e^{x+1} - 1 = e^x$
