Übungen - e-Funktion und ln-Funktion

Aufgabe 1

Das Applet zeigt den Graph der e-Funktion.

Zum Herunterladen: efunktion2.ggb

(a) Warum hat die Tangente an den Graph der e-Funktion im Punkt $P(0|1)$ die Steigung $1$? Begründe kurz.

(b) Welche Steigung hat die Tangente an den Graph der e-Funktion im Punkt $P(1|e)$? Kläre zunächst selbst diese Frage und überprüfe anschließend mit dem Applet.

(c) In welchem Punkt $P$ des Graphen hat die Tangente die Steigung $2$? Beschreibe den Punkt mit der ln-Funktion. Überprüfe mit dem Applet.

Aufgabe 2

Das Applet zeigt den Graph der e-Funktion und der ln-Funktion.

Zum Herunterladen: efunktion4.ggb

(a) Warum ist die ln-Funktion nur für positive reelle Zahlen definiert? Begründe kurz.

(b) Warum gilt $\ln (1)=0$? Begründe kurz.

(c) Für welche reelle Zahl $x$ gilt $\ln \left(e^x\right)=-1$? Begründe kurz.

Aufgabe 3

Hier geht es um das Lösen von Exponentialgleichungen.

(a) Erläutere das Vorgehen im gezeigten Beispiel.

(b) Löse analog die folgenden Exponentialgleichungen.

(A) $e^{x-1}+2=4$

(B) $3e^{x+1}=12$

(C) $3e^x-3=2e^x$

(c) Hier ist es schwieriger, zur Lösung zu gelangen. Tipp: $e^{x+1}=e^x\cdot e$.

(D) $e^{x+1}-1=e^x$