Zusammenfassung - e-Funktion mit Parametern
Zur Orientierung
Wir betrachten e-Funktionen, die mit zusätzlichen Parametern versehen sind:
$g(x) = a \cdot e^{k \cdot x}$
Der Parameter $a$ kann eine bliebige reelle Zahl ungleich $0$ sein. Man nennt $a$ auch Anfangswert.
Der Parameter $k$ kann bebenfalls eine bliebige reelle Zahl ungleich $0$ sein. Man nennt $k$ auch Wachstumskonstante. Wenn $k$ negativ ist, spricht nennt man $k$ oft auch Zerfallskonstante.
Solche Funktionen nennen wir e-Funktionen mit Parametern oder auch verallgemeinerte e-Funktionen oder ganz kurz auch nur e-Funktionen.
e-Funktionen mit Parametern und Exponentialfunktionen
Wenn man e-Funtionen mit Parametern versieht, erhält man Exponentialfunktionen. Umgekehrt kann jede Exponentialfunktion als e-Funktion mit Parametern dargestellt werden. Der folgende Satz präzisiert diesen Zusammenhang.
Exponentialfunktionen und e-Funktionen
Jede e-Funktion vom Typ $g(x) = e^{k \cdot x}$ ist eine Exponentialfunktion vom Typ $f(x) = b^x$. Es gilt:
$g(x) = e^{k \cdot x} = {\left(e^{k}\right)}^x = b^x$ mit $b = e^k$.
Jede Exponentialfunktion vom Typ $f(x) = b^x$ kann als e-Funktion vom Typ $g(x) = e^{k \cdot x}$ dargestellt werden. Es gilt:
$f(x) = b^x = {\left(e^{\ln(b)}\right)}^x = e^{\ln(b) \cdot x} = e^{k \cdot x}$ mit $k = \ln(b)$.
Beispiele
$g(x) = e^{0.5 \cdot x} = {\left(e^{0.5}\right)}^x = b^x$ mit $b = e^{0.5} \approx 1.65$.
$f(x) = 2^x = {\left(e^{\ln(2)}\right)}^x = e^{\ln(2) \cdot x} = e^{k \cdot x}$ mit $k = \ln(2) \approx 0.69$.
Aus dem Satz folgt, dass man jeden exponentiellen Prozess mit einer e-Funktion mit Parametern beschreiben kann. Es reicht also, wenn man den Fokus auf e-Funktionen lenkt.
Aus dem Satz ergibt sich zudem, dass die Graphen von e-Funktionen mit Parametern den Graphen von Exponentialfunktionen entsprechen.
Zum Herunterladen: verschiedenedarstellungen1.ggb
Im vorliegenden Applet muss man nur die Schieberegler passend einstellen, um sich entsprechende Graphen zu erzeugen.
Ableitung von e-Funktionen mit Parametern
Die Ableitung einer e-Funktion mit einem Wachstumsfaktor lässt sich experimentell bestimmen.
Zum Herunterladen: ableitung_allgemeine_efunktion_1.ggb
Das Applet verdeutlicht den folgenden Zusammenhang:
Wenn $g(x) = e^{k \cdot x} = {\left(e^{k}\right)}^x$, dann ist $g'(x) = k \cdot {\left(e^{k}\right)}^x = k \cdot e^{k \cdot x} $
Diesen Zusammenhang kann man auch mit dem folgenden Applet erschließen.
Zum Herunterladen: ableitung_allgemeine_efunktion_2.ggb
Der Graph der e-Funktion $g(x) = e^{k \cdot x}$ mit dem Wachstumsfaktor $k$ entsteht aus dem Graph der e-Funktion $f(x) = e^{x}$ durch eine Streckung in $x$-Richtung um den Faktor $\frac{1}{k}$. Anhand der im Applet gezeigten Steigungsdreiecke sieht man, dass sich hieraus folgender Zusammenhang ergibt:
$g'(\frac{x_0}{k}) = k \cdot f'(x_0)$
Für $x_0 = 0$ erhält man dann:
$g'(0) = k \cdot f'(0)$
Da die e-Funktion $g(x) = e^{k \cdot x}$ eine Exponentialfunktion ist, gilt für sie $g'(x) = c \cdot e^{k \cdot x}$ mit $c = g'(0)$.
Insgesamt erhält man so:
$g'(x) = k \cdot g(x) = k \cdot e^{k \cdot x}$
Ableitung einer e-Funktion mit Parametern
Für die Ableitung einer e-Funktion vom Typ $g(x) = e^{k \cdot x}$ gilt:
$g'(x) = k \cdot g(x) = k \cdot e^{k \cdot x}$
Mit der Faktorregel erhält man hieraus die Ableitungsregel für e-Funktionen mit Anfangswert und Wachstumsfaktor.
Ableitung einer e-Funktion mit Parametern
Für die Ableitung einer e-Funktion vom Typ $g(x) = a \cdot e^{k \cdot x}$ gilt:
$g'(x) = k \cdot g(x) = a \cdot k \cdot e^{k \cdot x}$
Beispiele
Für $g(x) = e^{0.5 \cdot x}$ gilt $g'(x) = 0.5 \cdot e^{0.5 \cdot x}$.
Für $g(x) = e^{2 \cdot x}$ gilt $g'(x) = 2 \cdot e^{2 \cdot x}$.
Für $g(x) = -e^{-2 \cdot x} = (-1) \cdot e^{-2 \cdot x}$ gilt $g'(x) = (-1) \cdot (-2) \cdot e^{-2 \cdot x} = e^{-2 \cdot x}$.
Ableitung von Exponentialfunktionen
Mit Hilfe der Ableitungsregel für e-Funktionen mit Parametern lässt sich die Ableitungsregel für Exponentialfunktionen etwas vereinfachen.
Jede Exponentialfunktion vom Typ $f(x) = b^x$ kann als e-Funktion vom Typ $g(x) = e^{k \cdot x}$ dargestellt werden. Es gilt:
$f(x) = b^x = {\left(e^{\ln(b)}\right)}^x = e^{\ln(b) \cdot x} = e^{k \cdot x}$ mit $k = \ln(b)$.
Für die Ableitung einer e-Funktion $g$ mit $g(x) = e^{k \cdot x}$ gilt:
$g'(x) = k \cdot e^{k \cdot x}$.
Wenn man diese beiden Zusammenhänge kombiniert, erhält man folgenden Satz:
Ableitung einer Exponentialfunktion
Für die Ableitung einer Exponentialfunktion $f(x) = b^{x}$ gilt:
$f'(x) = \ln(k) \cdot b^x$
Beispiel
Für $f(x) = 2^x$ gilt $f'(x) = \ln(2) \cdot 2^x \approx 0.69 \cdot 2^x$.
