Zusammenfassung - e-Funktion mit Parametern

Zur Orientierung

Wir betrachten e-Funktionen, die mit zusätzlichen Parametern versehen sind:

$g(x)=a\cdot e^{k\cdot x}$

Der Parameter $a$ kann eine bliebige reelle Zahl ungleich $0$ sein. Man nennt $a$ auch Anfangswert.

Der Parameter $k$ kann bebenfalls eine bliebige reelle Zahl ungleich $0$ sein. Man nennt $k$ auch Wachstumskonstante. Wenn $k$ negativ ist, spricht nennt man $k$ oft auch Zerfallskonstante.

Solche Funktionen nennen wir e-Funktionen mit Parametern oder auch verallgemeinerte e-Funktionen oder ganz kurz auch nur e-Funktionen.

e-Funktionen mit Parametern und Exponentialfunktionen

Wenn man e-Funtionen mit Parametern versieht, erhält man Exponentialfunktionen. Umgekehrt kann jede Exponentialfunktion als e-Funktion mit Parametern dargestellt werden. Der folgende Satz präzisiert diesen Zusammenhang.

Aus dem Satz folgt, dass man jeden exponentiellen Prozess mit einer e-Funktion mit Parametern beschreiben kann. Es reicht also, wenn man den Fokus auf e-Funktionen lenkt.

Aus dem Satz ergibt sich zudem, dass die Graphen von e-Funktionen mit Parametern den Graphen von Exponentialfunktionen entsprechen.

Zum Herunterladen: verschiedenedarstellungen1.ggb

Im vorliegenden Applet muss man nur die Schieberegler passend einstellen, um sich entsprechende Graphen zu erzeugen.

Ableitung von e-Funktionen mit Parametern

Die Ableitung einer e-Funktion mit einem Wachstumsfaktor lässt sich experimentell bestimmen.

Zum Herunterladen: ableitung_allgemeine_efunktion_1.ggb

Das Applet verdeutlicht den folgenden Zusammenhang:

Wenn $g(x)=e^{k\cdot x}={\left(e^k\right)}^x$, dann ist $g^{\prime }(x)=k\cdot {\left(e^k\right)}^x=k\cdot e^{k\cdot x}$

Diesen Zusammenhang kann man auch mit dem folgenden Applet erschließen.

Zum Herunterladen: ableitung_allgemeine_efunktion_2.ggb

Der Graph der e-Funktion $g(x)=e^{k\cdot x}$ mit dem Wachstumsfaktor $k$ entsteht aus dem Graph der e-Funktion $f(x)=e^x$ durch eine Streckung in $x$-Richtung um den Faktor $\frac{1}{k}$. Anhand der im Applet gezeigten Steigungsdreiecke sieht man, dass sich hieraus folgender Zusammenhang ergibt:

$g^{\prime }(\frac{x_0}{k})=k\cdot f^{\prime }(x_0)$

Für $x_0=0$ erhält man dann:

$g^{\prime }(0)=k\cdot f^{\prime }(0)$

Da die e-Funktion $g(x)=e^{k\cdot x}$ eine Exponentialfunktion ist, gilt für sie $g^{\prime }(x)=c\cdot e^{k\cdot x}$ mit $c=g^{\prime }(0)$.

Insgesamt erhält man so:

$g^{\prime }(x)=k\cdot g(x)=k\cdot e^{k\cdot x}$

Mit der Faktorregel erhält man hieraus die Ableitungsregel für e-Funktionen mit Anfangswert und Wachstumsfaktor.

Ableitung von Exponentialfunktionen

Mit Hilfe der Ableitungsregel für e-Funktionen mit Parametern lässt sich die Ableitungsregel für Exponentialfunktionen etwas vereinfachen.

Jede Exponentialfunktion vom Typ $f(x)=b^x$ kann als e-Funktion vom Typ $g(x)=e^{k\cdot x}$ dargestellt werden. Es gilt:

$f(x)=b^x={\left(e^{\ln (b)}\right)}^x=e^{\ln (b)\cdot x}=e^{k\cdot x}$ mit $k=\ln (b)$.

Für die Ableitung einer e-Funktion $g$ mit $g(x)=e^{k\cdot x}$ gilt:

$g^{\prime }(x)=k\cdot e^{k\cdot x}$.

Wenn man diese beiden Zusammenhänge kombiniert, erhält man folgenden Satz: