Einstieg

Die e-Funktion mit einem Anfangswert a

Wir betrachten e-Funktionen, die mit einem zusätzlichen Parameter $a$ multipliziert werden:

$g(x) = a \cdot e^{x}$

Der Parameter $a$ kann dabei eine bliebige reelle Zahl (ungleich $0$) sein. Man nennt $a$ auch Anfangswert.

Mit dem folgenden Applet kannst du die Auswirkungen von $a$ auf den Graph erkunden.

Anleitung für das Applet

• Im Applet ist der Graph der e-Funktion $f(x) = e^x$ vorgegebnen (violett eingefärbt).
• Mit dem Schieberegler kann man den Wert von $a$ einstellen. Angezeigt wird der Graph von $g(x) = a \cdot e^{x}$ (schwarz eingefärbt).
• Mit [strecken / stauchen] wird der Graph von $g(x) = a \cdot e^{x}$ aus dem Graph von $f(x) = e^x$ schrittweise erzeugt.
• Mit [Neustart] kann man den Ausgangszustand wieder herstellen.
• Wenn man einen negativen $a$-Wert einnstellt, wird zusätzlich der Graph der Hilfsfunktion $\overline{f}(x) = -e^{x}$ angezeigt.

Zum Herunterladen: allgemeineefunktion2.ggb

Aufgabe 1

Beschreibe, wie der Graph von $g(x) =a \cdot e^{x}$ aus dem Graph von $f(x) = e^x$ entsteht. Betrachte die folgenden 4 Fälle:

• Fall 1: $0 \text{ < } a \text{ < } 1$
• Fall 2: $a > 1 $
• Fall 3: $-1 \text{ < } a \text{ < } 0$
• Fall 4: $a \text{ < } -1$

Die e-Funktion mit einer Wachstumskonstante k

Wir betrachten e-Funktionen, die im Exponent einen zusätzlichen Parameter $k$ haben:

$g(x) = e^{k \cdot x}$

Der Parameter $k$ kann dabei eine bliebige reelle Zahl (ungleich $0$) sein. Man nennt $k$ auch Wachstumskonstante.

Mit dem folgenden Applet kannst du die Auswirkungen von $k$ auf den Graph erkunden.

Anleitung für das Applet

• Im Applet ist der Graph der e-Funktion $f(x) = e^x$ vorgegebnen (violett eingefärbt).
• Mit dem Schieberegler kann man den Wert von $k$ einstellen. Angezeigt wird der Graph von $g(x) = e^{k \cdot x}$ (schwarz eingefärbt).
• Mit [strecken / stauchen] wird der Graph von $g(x) = e^{k \cdot x}$ aus dem Graph von $f(x) = e^x$ schrittweise erzeugt.
• Mit [Neustart] kann man den Ausgangszustand wieder herstellen.
• Wenn man einen negativen $k$-Wert einnstellt, wird zusätzlich der Graph der Hilfsfunktion $\overline{f}(x) = e^{-x}$ angezeigt.

Zum Herunterladen: allgemeineefunktion1.ggb

Aufgabe 2

Beschreibe, wie der Graph von $g(x) = e^{k \cdot x}$ aus dem Graph von $f(x) = e^x$ entsteht. Betrachte die folgenden 4 Fälle:

• Fall 1: $0 \text{ < } k \text{ < } 1$
• Fall 2: $k > 1$
• Fall 3: $-1 \text{ < } k \text{ < } 0$
• Fall 4: $k \text{ < } -1$

Parameter kombinieren

Man kann e-Funktionen auch mit beiden Parametern – einem Anfangswert $a$ und einem Wachstumsfaktor $k$ - versehen:

$g(x) = a \cdot e^{k \cdot x}$

Solche Funktionen nennen wir e-Funktionen mit Parametern oder verallgemeinerte e-Funktionen oder oft kurz auch nur e-Funktionen.

Die Graphen solcher verallgemeinerter e-Funktionen erhält man durch Streckungen (bzw. Stauchungen) in $x$- und $y$-Richtung. Zu klären ist noch, ob die verallgemeinerten e-Funktionen auch Exponentialfunktionen sind. Das wird im nächsten Abschnitt untersucht.