Vertiefung
Zur Orientierung
Wir betrachten hier weiterhin folgende Leitfrage:
Leitfrage
Handelt es sich bei der Entwicklung der COVID-Infizierten – zumindest abschnittsweise – um einen exponentiellen Prozess?
Die mit Hilfe der Daten ermittelten Wachstumsfaktoren [pro Tag] deuten darauf hin, dass das Wachstum der COVID-Infizierten nicht im gesamten betrachteten Zeitraum vom 01.03.2020 bis zum 31.03.2020 exponentiell ist.
Zum Herunterladen: corona2.ggb
Der erste Wachstumsfaktor $2.63$ scheint ein Ausreißer
zu sein. Solche Ausreißer
sind durch die unklare Situation zu Beginn der Pandemie leicht zu erklären.
Im Zeitraum vom 02.03.2020 bis zum 21.03.2020 liegt der Wachstumsfaktor [pro Tag] stets in der Nähe des Werts $1.2$ – manchmal darüber, manchmal auch darunter.
Ziel ist es, das Wachstum der Infiziertenzahl in diesem reduzierten Zeitraum mit einer Exponentialfunktion zu beschreiben.
Das Wachstum der Infiziertenzahl mit einer Exponentialfunktion beschreiben
Aufgabe 1 – experimentell vorgehen
Im Applet sind Schieberegler vorgesehen, mit deren Hilfe man die Parameter einer e-Funktion passend zu den Daten einstellen kann. Betrachte das Zeitintervall vom 02.03.2020 bis zum 21.03.2020. Versuche experimentell die e-Funktion so zu bestimmen, dass sie die Entwicklung der Infiziertenzahl im betrachteten Zeitintervall gut beschreibt. Du wirst vermutlich feststellen, dass dieser experimentelle Ansatz nicht gut funktioniert.
Aufgabe 2 – rechnerisch vorgehen
Wir gehen hier von folgender Anforderung aus: Der Graph der Exponentialfunktion soll genau zu den Daten zum 02.03.2020 und zum 21.03.2020 passen. Die entsprechenden Punkte im Koordinatensystem sind $P(1|150)$ und $Q(20|21828)$. Beachte, dass der Tag 01.03.2020 als Zeitpunkt $t = 0$ gesetzt wird. Wenn der Graph der e-Funktion $g(x) = a \cdot e^{k\cdot x}$ durch diese beiden Punkte verlaufen soll, dann müssen folgende Bedingungen erfüllt sein.
- (1) $g(1) = 150$ bzw. $a \cdot e^{k\cdot 1} = 150$
- (1) $g(20) = 21828$ bzw. $a \cdot e^{k\cdot 20} = 21828$
Bestimme $a$ und $k$ mit diesen Bedingungen. Stelle diese Werte dann im Applet oben ein. Überprüfe, ob der Graph zu den Punkten im Koordinatensystem passt.
